直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ で交わる直線を求めます。

1. 問題の内容

直線 $y = \sqrt{3}x + 5$ となす角が $\pm \frac{\pi}{3}$ であり、点 $(0, 5)$ で交わる直線を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 与えられた直線の傾きを求めます。

与えられた直線は $y = \sqrt{3}x + 5$ なので、傾き $m_1$ は $m_1 = \sqrt{3}$ です。

ステップ2: 求める直線の傾きを $m$ とし、$\tan$ の加法定理を用いて $m$ を求めます。

2つの直線がなす角を $\theta$ とすると、$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} \right|$ が成り立ちます。

今回は $\theta = \pm \frac{\pi}{3}$ なので、$\tan \left(\pm \frac{\pi}{3}\right) = \pm \sqrt{3}$ です。

場合1: $\tan \theta = \sqrt{3}$ のとき

$\sqrt{3} = \left| \frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} \right|$

$\frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} = \pm \sqrt{3}$

$\frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} = \sqrt{3}$ のとき、

$\sqrt{3} - m = \sqrt{3} + 3m$

$-4m = 0$

$m = 0$

$\frac{\sqrt{3} - m}{1 + \sqrt{3} m} = -\sqrt{3}$ のとき、

$\sqrt{3} - m = -\sqrt{3} - 3m$

$2m = -2\sqrt{3}$

$m = -\sqrt{3}$

場合2: $\tan \theta = -\sqrt{3}$ のとき

これは絶対値なので、場合1と全く同じになります。

ステップ3: $m = 0$ の場合、求める直線は $y = 5$ となります。

ステップ4: $m = -\sqrt{3}$ の場合、求める直線は $y = -\sqrt{3}x + 5$ となります。

3. 最終的な答え

求める直線は、

$y = 5$

$y = -\sqrt{3}x + 5$

です。