(1) 点 $(3,1,4)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 1, -3)$ に平行な直線の式を求めよ。 (2) 2点 $(1, -3, 2)$ と $(5, 2, 4)$ を通る直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 点 $(3,1,4)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 1, -3)$ に平行な直線の式を求めよ。

(2) 2点 $(1, -3, 2)$ と $(5, 2, 4)$ を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(3,1,4)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (2, 1, -3)$ に平行な直線の方程式を求める。

直線上の点を $(x, y, z)$ とすると、位置ベクトル $\vec{p} = (x, y, z)$ は、ある実数 $t$ を用いて以下のように表せる。

$\vec{p} = (3,1,4) + t(2,1,-3)$

したがって、直線の式は

$(x, y, z) = (3+2t, 1+t, 4-3t)$

と書ける。これをパラメータ表示すると、

$x = 3 + 2t$

$y = 1 + t$

$z = 4 - 3t$

ここで、$t$ を消去する。$t = y - 1$ であるから、

$x = 3 + 2(y - 1) = 2y + 1$

$z = 4 - 3(y - 1) = 7 - 3y$

したがって、

$x - 2y = 1$

$3y + z = 7$

これより、

$\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-3}$

と書ける。

(2) 2点 $(1, -3, 2)$ と $(5, 2, 4)$ を通る直線の方程式を求める。

2点を通るベクトルは、$(5, 2, 4) - (1, -3, 2) = (4, 5, 2)$ である。

したがって、直線上の点を $(x, y, z)$ とすると、ある実数 $t$ を用いて、

$(x, y, z) = (1, -3, 2) + t(4, 5, 2)$

と表せる。

$x = 1 + 4t$

$y = -3 + 5t$

$z = 2 + 2t$

ここで、$t$ を消去する。$t = (x-1)/4$ であるから、

$y = -3 + 5(x-1)/4 = -3 + \frac{5}{4}x - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}x - \frac{17}{4}$

$z = 2 + 2(x-1)/4 = 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

したがって、

$4y = 5x - 17$

$2z = x + 3$

これより、

$\frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-2}{2}$

と書ける。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-4}{-3}$

(2) $\frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-2}{2}$