数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。すべての正の整数 $n$ において $S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ が成り立つとき、以下の問題を解く。 (1) $a_1$, $a_2$ を求めよ。 (2) $a_n$ を求めよ。 (3) $S_n$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。すべての正の整数 $n$ において $S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ が成り立つとき、以下の問題を解く。

(1) $a_1$, $a_2$ を求めよ。

(2) $a_n$ を求めよ。

(3) $S_n$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_1$ と $a_2$ を求める。

$a_1 = S_1$ であるから、

$a_1 = S_1 = -(1)^3 + 10(1)^2 - 20(1) = -1 + 10 - 20 = -11$

$a_2 = S_2 - S_1$ であるから、まず $S_2$ を求める。

$S_2 = -(2)^3 + 10(2)^2 - 20(2) = -8 + 40 - 40 = -8$

$a_2 = S_2 - S_1 = -8 - (-11) = -8 + 11 = 3$

(2) $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$

$S_{n-1} = -(n-1)^3 + 10(n-1)^2 - 20(n-1)$

$= -(n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + 10(n^2 - 2n + 1) - 20(n-1)$

$= -n^3 + 3n^2 - 3n + 1 + 10n^2 - 20n + 10 - 20n + 20$

$= -n^3 + 13n^2 - 43n + 31$

したがって、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (-n^3 + 10n^2 - 20n) - (-n^3 + 13n^2 - 43n + 31)$

$= -n^3 + 10n^2 - 20n + n^3 - 13n^2 + 43n - 31$

$= -3n^2 + 23n - 31$

$n=1$ のとき $a_1 = -3(1)^2 + 23(1) - 31 = -3 + 23 - 31 = -11$

これは (1) で求めた $a_1$ と一致する。

したがって、$a_n = -3n^2 + 23n - 31$ は全ての $n$ に対して成り立つ。

(3) $S_n$ の最大値を求める。

$S_n = -n^3 + 10n^2 - 20n$ の最大値を求める。

$S'_n = -3n^2 + 20n - 20$

$S'_n = 0$ となる $n$ を求める。

$3n^2 - 20n + 20 = 0$

$n = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4(3)(20)}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 240}}{6} = \frac{20 \pm \sqrt{160}}{6} = \frac{20 \pm 4\sqrt{10}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{3}$

$n \approx \frac{10 \pm 2(3.16)}{3} \approx \frac{10 \pm 6.32}{3}$

$n_1 \approx \frac{16.32}{3} \approx 5.44$

$n_2 \approx \frac{3.68}{3} \approx 1.23$

$S_1 = -11, S_2 = -8, S_3 = -27+90-60 = 3, S_4 = -64+160-80 = 16, S_5 = -125+250-100 = 25, S_6 = -216+360-120 = 24, S_7 = -343+490-140 = 7$

$S_5 = 25$ が最大である。

3. 最終的な答え

(1) $a_1 = -11, a_2 = 3$

(2) $a_n = -3n^2 + 23n - 31$

(3) $S_n$ の最大値は $25$