不等式 $|x+2| + |2x-3| < x+8$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x+2| + |2x-3| < x+8$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x < -2$ のとき

$x+2 < 0$ かつ $2x-3 < 0$ なので、

$-(x+2) - (2x-3) < x+8$

$-x-2 -2x+3 < x+8$

$-3x + 1 < x+8$

$-4x < 7$

$x > -\frac{7}{4}$

したがって、$-\frac{7}{4} < x < -2$

(ii) $-2 \le x < \frac{3}{2}$ のとき

$x+2 \ge 0$ かつ $2x-3 < 0$ なので、

$(x+2) - (2x-3) < x+8$

$x+2 -2x+3 < x+8$

$-x+5 < x+8$

$-2x < 3$

$x > -\frac{3}{2}$

したがって、$-\frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$

(iii) $x \ge \frac{3}{2}$ のとき

$x+2 > 0$ かつ $2x-3 \ge 0$ なので、

$(x+2) + (2x-3) < x+8$

$x+2 +2x-3 < x+8$

$3x-1 < x+8$

$2x < 9$

$x < \frac{9}{2}$

したがって、$\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$

(i), (ii), (iii) より、

$-\frac{7}{4} < x < -2$ または $-\frac{3}{2} < x < \frac{3}{2}$ または $\frac{3}{2} \le x < \frac{9}{2}$

これらを合わせると、$-\frac{3}{2} < -\frac{7}{4} < -2$ なので、$-\frac{7}{4}$ より大きいという条件と $-\frac{3}{2}$ より大きいという条件を組み合わせると、$-\frac{3}{2}$ より大きいという条件が残る。

したがって、$x > -\frac{3}{2}$ かつ $x < \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$