無理関数 $y = \sqrt{ax + b} + c$ の定義域が $x \geq 1$、値域が $y \geq 1$ であり、グラフが点 $(2, 3)$ を通る。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

無理関数 $y = \sqrt{ax + b} + c$ の定義域が $x \geq 1$、値域が $y \geq 1$ であり、グラフが点 $(2, 3)$ を通る。このとき、定数 $a, b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* 定義域が $x \geq 1$ であることから、根号の中身が $x = 1$ で $0$ になる必要がある。つまり、

$a(1) + b = 0$

$a + b = 0$

$b = -a$

* 値域が $y \geq 1$ であることから、$x = 1$ のとき $y = 1$ になる。

$y = \sqrt{a(1) + b} + c = 1$

$\sqrt{0} + c = 1$

$c = 1$

* グラフが点 $(2, 3)$ を通ることから、

$3 = \sqrt{a(2) + b} + c$

$3 = \sqrt{2a + b} + 1$

$2 = \sqrt{2a + b}$

* 上の式を2乗すると、

$4 = 2a + b$

* $b = -a$ を $4 = 2a + b$ に代入すると、

$4 = 2a - a$

$a = 4$

* $b = -a$ より、

$b = -4$

* したがって、$a = 4$, $b = -4$, $c = 1$

3. 最終的な答え

$a = 4, b = -4, c = 1$