与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。連立方程式は以下の通りです。 $x + 2y + 3z = 9$ $4x + 0y + 3z = -5$ $2x - 3y + 0z = -13$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。連立方程式は以下の通りです。

$x + 2y + 3z = 9$

$4x + 0y + 3z = -5$

$2x - 3y + 0z = -13$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いるためには、まず係数行列の行列式を計算する必要があります。

係数行列をA、定数ベクトルをbとすると、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

$b = \begin{pmatrix} 9 \\ -5 \\ -13 \end{pmatrix}$

まず、係数行列Aの行列式$|A|$を計算します。

$|A| = 1(0\cdot0 - 3\cdot(-3)) - 2(4\cdot0 - 3\cdot2) + 3(4\cdot(-3) - 0\cdot2) = 1(9) - 2(-6) + 3(-12) = 9 + 12 - 36 = -15$

次に、$x, y, z$を求めるために、それぞれに対応する列を定数ベクトルbで置き換えた行列の行列式を計算します。

$|A_x| = \begin{vmatrix} 9 & 2 & 3 \\ -5 & 0 & 3 \\ -13 & -3 & 0 \end{vmatrix} = 9(0\cdot0 - 3\cdot(-3)) - 2(-5\cdot0 - 3\cdot(-13)) + 3(-5\cdot(-3) - 0\cdot(-13)) = 9(9) - 2(39) + 3(15) = 81 - 78 + 45 = 48$

$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{48}{-15} = -\frac{16}{5}$

$|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 9 & 3 \\ 4 & -5 & 3 \\ 2 & -13 & 0 \end{vmatrix} = 1(-5\cdot0 - 3\cdot(-13)) - 9(4\cdot0 - 3\cdot2) + 3(4\cdot(-13) - (-5)\cdot2) = 1(39) - 9(-6) + 3(-52+10) = 39 + 54 + 3(-42) = 93 - 126 = -33$

$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-33}{-15} = \frac{11}{5}$

$|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 9 \\ 4 & 0 & -5 \\ 2 & -3 & -13 \end{vmatrix} = 1(0\cdot(-13) - (-5)\cdot(-3)) - 2(4\cdot(-13) - (-5)\cdot2) + 9(4\cdot(-3) - 0\cdot2) = 1(-15) - 2(-52+10) + 9(-12) = -15 - 2(-42) - 108 = -15 + 84 - 108 = -39$

$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{-39}{-15} = \frac{13}{5}$

3. 最終的な答え

$x = -\frac{16}{5}$

$y = \frac{11}{5}$

$z = \frac{13}{5}$