4色のカードがそれぞれ3枚ずつ、合計12枚ある。各色のカードには1から3までの数字が1つずつ書かれている。この中から3枚のカードを同時に引くとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3枚のカードの数字がすべて異なる確率 (2) 3枚のカードの色も数字も異なる確率 (3) 2枚のカードだけ数字が等しい確率

1. 問題の内容

4色のカードがそれぞれ3枚ずつ、合計12枚ある。各色のカードには1から3までの数字が1つずつ書かれている。この中から3枚のカードを同時に引くとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3枚のカードの数字がすべて異なる確率

(2) 3枚のカードの色も数字も異なる確率

(3) 2枚のカードだけ数字が等しい確率

2. 解き方の手順

まず、3枚のカードの選び方の総数を求める。これは12枚から3枚を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_3$で計算できる。

$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$

(1) 3枚のカードの数字がすべて異なる確率

3枚の数字が異なるのは、1, 2, 3の数字がそれぞれ1枚ずつ選ばれる場合である。

1のカードの選び方は4通り、2のカードの選び方は4通り、3のカードの選び方は4通り。

よって、数字がすべて異なる選び方は$4 \times 4 \times 4 = 64$通り。

確率は $\frac{64}{220} = \frac{16}{55}$。

(2) 3枚のカードの色も数字も異なる確率

3枚のカードの色も数字も異なるのは、各数字について色が異なる場合である。

1, 2, 3の数字を1枚ずつ選ぶ。

1の数字のカードの選び方は4通り。

2の数字のカードの選び方は、1で選んだ色を除いた3通り。

3の数字のカードの選び方は、1と2で選んだ色を除いた2通り。

よって、$4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

確率は $\frac{24}{220} = \frac{6}{55}$。

(3) 2枚のカードだけ数字が等しい確率

まず、どの数字を2枚揃えるかを選ぶ。これは1, 2, 3の3通り。

選んだ数字の2枚の選び方は、同じ数字の4枚から2枚を選ぶ組み合わせなので、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

残りの1枚は、選んだ2枚の数字とは異なる数字を選ぶ必要がある。

残りの数字は2種類ある。そのそれぞれについて4枚ずつカードがあるので、8枚の中から1枚を選ぶ。ただし、2枚と同じ数字を選んではいけないので、違う数字を選ばないといけない。よって8通り。

したがって、確率は $\frac{3 \times 6 \times 8}{220} = \frac{144}{220} = \frac{36}{55}$。

3. 最終的な答え

(1) 3枚のカードの数字がすべて異なる確率は $\frac{16}{55}$。

(2) 3枚のカードの色も数字も異なる確率は $\frac{6}{55}$。

(3) 2枚のカードだけ数字が等しい確率は $\frac{36}{55}$。