(1) 関数 $y = x^2 + 2ax + 2a + 5$ (aは定数) の頂点のx座標を求め、頂点のy座標を最大にするaの値と、その時の最大値を求める。 (2) $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y = 3$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = x^2 + 2ax + 2a + 5$ (aは定数) の頂点のx座標を求め、頂点のy座標を最大にするaの値と、その時の最大値を求める。

(2) $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y = 3$ のとき、$3x^2 + y^2$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 + 2ax + 2a + 5$ を平方完成する。

$y = (x + a)^2 - a^2 + 2a + 5$

よって、頂点の座標は $(-a, -a^2 + 2a + 5)$ である。

したがって、頂点のx座標は $-a$ である。

次に、頂点のy座標 $-a^2 + 2a + 5$ を最大にするaの値を求める。

$-a^2 + 2a + 5 = -(a^2 - 2a) + 5 = -(a^2 - 2a + 1) + 1 + 5 = -(a - 1)^2 + 6$

よって、頂点のy座標は $a = 1$ のとき最大値6をとる。

(2)

$x + y = 3$ より、$y = 3 - x$ である。

$x \ge 0$, $y \ge 0$ より、$0 \le x \le 3$ である。

$3x^2 + y^2 = 3x^2 + (3 - x)^2 = 3x^2 + 9 - 6x + x^2 = 4x^2 - 6x + 9$

$f(x) = 4x^2 - 6x + 9$ とおく。

$f(x) = 4(x^2 - \frac{3}{2}x) + 9 = 4(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 9 = 4(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{27}{4}$

$f(x)$ は $x = \frac{3}{4}$ のとき最小値 $\frac{27}{4}$ をとる。

$0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値は、$x = 0$ または $x = 3$ のときである。

$f(0) = 9$

$f(3) = 4(3)^2 - 6(3) + 9 = 36 - 18 + 9 = 27$

よって、$f(x)$ は $x = 3$ のとき最大値27をとる。

3. 最終的な答え

(1)

1: -

2: 1

3: 6

(2)

4: 3

5: 2

6: 7

7: 3

8: 4

9: 2

10: 7

11: 4