2次関数 $f(x) = 3x^2 + 18x + 20$ のグラフを、x軸方向に$t$、y軸方向に$t^2 - 6t$だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=h(x)$ とする。2次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解を持つような定数 $t$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 3x^2 + 18x + 20$ のグラフを、x軸方向に$t$、y軸方向に$t^2 - 6t$だけ平行移動したグラフを持つ2次関数を $y=h(x)$ とする。2次方程式 $h(x) = 0$ が異なる二つの正の解を持つような定数 $t$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$h(x)$ を求める。$f(x) = 3x^2 + 18x + 20 = 3(x^2 + 6x) + 20 = 3(x^2 + 6x + 9) - 27 + 20 = 3(x+3)^2 - 7$。

$f(x)$ をx軸方向に$t$、y軸方向に$t^2 - 6t$だけ平行移動すると、

$h(x) = 3(x+3-t)^2 - 7 + t^2 - 6t$

$= 3(x^2 + 6x - 2tx + 9 - 6t + t^2) - 7 + t^2 - 6t$

$= 3x^2 + 18x - 6tx + 27 - 18t + 3t^2 - 7 + t^2 - 6t$

$= 3x^2 + (18-6t)x + 4t^2 - 24t + 20$

$h(x) = 0$ が異なる二つの正の解を持つ条件は、以下の3つである。

(1) $h(x)=0$ が異なる2つの実数解を持つ (判別式 $D > 0$)

(2) 2つの解の和が正である ($-\frac{18-6t}{3} > 0$)

(3) 2つの解の積が正である ($\frac{4t^2-24t+20}{3} > 0$)

(1) 判別式 $D > 0$ より、

$D = (18-6t)^2 - 4(3)(4t^2-24t+20) > 0$

$324 - 216t + 36t^2 - 12(4t^2 - 24t + 20) > 0$

$324 - 216t + 36t^2 - 48t^2 + 288t - 240 > 0$

$-12t^2 + 72t + 84 > 0$

$t^2 - 6t - 7 < 0$

$(t-7)(t+1) < 0$

$-1 < t < 7$

(2) 解の和 $> 0$ より、

$-\frac{18-6t}{3} > 0$

$18 - 6t < 0$

$6t > 18$

$t > 3$

(3) 解の積 $> 0$ より、

$\frac{4t^2 - 24t + 20}{3} > 0$

$4t^2 - 24t + 20 > 0$

$t^2 - 6t + 5 > 0$

$(t-1)(t-5) > 0$

$t < 1$ または $t > 5$

(1), (2), (3) の共通範囲は $5 < t < 7$。

3. 最終的な答え

5 < t < 7