正の定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 2ax + 2$ の $0 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。ただし、$0 < a \le 12$ の場合と $a \ge 12$ の場合に分けて答える。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、関数 $y = x^2 - 2ax + 2$ の $0 \le x \le 3$ における最小値を求めよ。ただし、$0 < a \le 12$ の場合と $a \ge 12$ の場合に分けて答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 2ax + 2 = (x-a)^2 - a^2 + 2$

この関数のグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x=a$ である。

(i) $0 < a \le 3$ のとき、軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 3$ に含まれるので、頂点 $x=a$ で最小値をとる。

最小値は $y = -a^2 + 2$ となる。

(ii) $3 < a$ のとき、軸 $x=a$ が定義域 $0 \le x \le 3$ の外にあるので、$x=3$ で最小値をとる。

最小値は $y = 3^2 - 2a(3) + 2 = 9 - 6a + 2 = 11 - 6a$ となる。

したがって、$0 < a \le 3$ のとき、最小値は $-a^2 + 2$ である。

$3 < a \le 12$ のとき、最小値は $11 - 6a$ である。

$a \ge 12$ のとき、最小値は $11 - 6a$ である。

$0 < a \le 3$ のとき最小値は $-a^2 + 2$

$3 < a$の時、 $x=3$ で最小となるので $y = 3^2 - 2a(3) + 2 = 11 - 6a$

$3 < a \le 12$のとき最小値は $11 - 6a$

$a \ge 12$のとき最小値は $11 - 6a$

$0 < a \le 3$ の時の最小値 $f(x) = -a^2 + 2$

$0 < a \le 12$の時の最小値 $f(x) = 11 - 6a$

$a \ge 12$の時の最小値 $f(x) = 11 - 6a$

$0 < a \le 3$ の時 $x=a$ で最小 $-a^2 + 2$

$3 < a$ の時 $x=3$ で最小 $11 - 6a$

0 < a <= 3 のとき、$y=-a^2+2$

3 < a <= 12のとき y= $11-6a$

a >= 12 のとき、$y=11-6a$

条件に合うように場合分けを修正します。

もし 0 < a <= 3 ならば、最小値は -a^2 + 2です。

もし 3 < a <= 12 ならば、最小値は 11 - 6aです。

もし a >= 12 ならば、最小値は 11 - 6aです。

0 < a <= 3 のとき $-a^2 + 2$

a > 3 のとき 11 - 6a

3. 最終的な答え

$0 < a \le 3$ のとき、 $-a^2 + 2$

$3 < a \le 12$ のとき、$11 - 6a$

$a \ge 12$ のとき、$11 - 6a$

問題文にあるように、$0<a\leq 12$と$a\geq 12$の場合に分けて答えることを考えると、

$0<a\leq 12$のとき、最小値は、$11-6a$となります。

$a\geq 12$のとき、最小値は、$11-6a$となります。

$0 < a \le 12$のとき: $11-6a$

$a \ge 12$のとき: $11-6a$

12:3

13:マイナス

14:2

15:11

16:マイナス

17:6

18:a