(1) 焦点が $(5, 0)$、準線が直線 $x = -5$ である放物線の方程式を求める。 (2) 放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ の焦点と準線を求める。

1. 問題の内容

(1) 焦点が $(5, 0)$、準線が直線 $x = -5$ である放物線の方程式を求める。

(2) 放物線 $y = -\frac{1}{2}x^2$ の焦点と準線を求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線の定義より、焦点からの距離と準線からの距離が等しい。

放物線上の点を $(x, y)$ とすると、

焦点 $(5, 0)$ からの距離は $\sqrt{(x-5)^2 + (y-0)^2}$

準線 $x = -5$ からの距離は $|x - (-5)| = |x+5|$

したがって、

$\sqrt{(x-5)^2 + y^2} = |x+5|$

両辺を2乗して、

$(x-5)^2 + y^2 = (x+5)^2$

$x^2 - 10x + 25 + y^2 = x^2 + 10x + 25$

$y^2 = 20x$

(2) 与えられた放物線の方程式は $y = -\frac{1}{2}x^2$ である。これは $x^2 = -2y$ と書き換えられる。

放物線 $x^2 = 4py$ の焦点は $(0, p)$、準線は $y = -p$ である。

$4p = -2$ より、$p = -\frac{1}{2}$

したがって、焦点は $(0, -\frac{1}{2})$、準線は $y = \frac{1}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $y^2 = 20x$

(2) 焦点: $(0, -\frac{1}{2})$、準線: $y = \frac{1}{2}$