点 $Q$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、3点 $A(5, 1)$, $B(1, -4)$, $Q$ を頂点とする $\triangle ABQ$ の重心 $G$ の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点 $Q$ が円 $x^2 + y^2 = 9$ 上を動くとき、3点 $A(5, 1)$, $B(1, -4)$, $Q$ を頂点とする $\triangle ABQ$ の重心 $G$ の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $Q$ の座標を $(s, t)$ とすると、点 $Q$ は円 $x^2 + y^2 = 9$ 上にあるので、

$s^2 + t^2 = 9$

である。

重心 $G$ の座標を $(x, y)$ とすると、重心の定義より

$x = \frac{5 + 1 + s}{3} = \frac{6 + s}{3}$

$y = \frac{1 - 4 + t}{3} = \frac{-3 + t}{3}$

となる。

したがって、

$s = 3x - 6$

$t = 3y + 3$

である。

$s^2 + t^2 = 9$ に代入すると、

$(3x - 6)^2 + (3y + 3)^2 = 9$

$9(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 9$

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 1$

3. 最終的な答え

よって、重心 $G$ の軌跡は、中心 $(2, -1)$, 半径 $1$ の円である。

$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 1$