長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが点Eに移動した。辺ADと辺CEの交点をFとする。 (1) 三角形AEFと合同な三角形を答える。 (2) 三角形FACがどんな三角形になるかを答える。

1. 問題の内容

長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが点Eに移動した。辺ADと辺CEの交点をFとする。

(1) 三角形AEFと合同な三角形を答える。

(2) 三角形FACがどんな三角形になるかを答える。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle AEF$ と合同な三角形を見つける。

* 長方形ABCDを折り返しているので、$AB = AE$、$\angle B = \angle E = 90^\circ$となる。

* $\angle EAF = \angle BAD - \angle BAE = 90^\circ - \angle BAE$。

* $\angle FCD = \angle BCA$となる。また、$AD \parallel BC$なので$\angle CAD = \angle BCA$。よって$\angle CAD = \angle FCD$。

* $AC$は共通。

* $\angle AFC = \angle EFA$ (対頂角)。

* $\angle EFA = 90^\circ - \angle FAE$。

* $\angle CFA = 180^\circ - \angle FAC - \angle ACF$。

* $\triangle AEF$において、$\angle AFE = 90^\circ - \angle FAE$。

* $\triangle CDF$において、$\angle CFD = \angle AFE$なので、$\angle DCF = 90^\circ - \angle FCD$

$\triangle AEF$と$\triangle CDF$について考える。

$AD \parallel BC$より$\angle FCD = \angle CAD$。

$\angle EAF = 90^\circ - \angle EAB$。

$\angle DCF = 90^\circ - \angle FCD$。

$AE = AB = CD$。

$\angle AFE = \angle CFD$（対頂角)。

$\angle FAE = 90^\circ - \angle AFE$。

$\angle DCF = 90^\circ - \angle CFD$。

$\angle AFE = \angle CFD$ なので $\angle FAE = \angle DCF$。

$\triangle AEF$ と $\triangle CDF$ において、

$\angle EAF = \angle DCF$, $AE = CD$, $\angle AFE = \angle CFD$ なので、一組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、$\triangle AEF \equiv \triangle CDF$。

(2) $\triangle FAC$ の形状を調べる。

* $AD \parallel BC$より、$\angle FAC = \angle ACF$。

よって、$\triangle FAC$ は二等辺三角形。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle CDF$

(2) 二等辺三角形