表に2、裏に0と書かれたコインを投げたときに出た数を確率変数 $X$ とし、1, 1, 1, 5 の4枚のカードから1枚を引いたときに引いたカードに書かれた数を確率変数 $Y$ とするとき、$E(XY)$ と $V(3X+2Y)$ を求めよ。

1. 問題の内容

表に2、裏に0と書かれたコインを投げたときに出た数を確率変数 $X$ とし、1, 1, 1, 5 の4枚のカードから1枚を引いたときに引いたカードに書かれた数を確率変数 $Y$ とするとき、$E(XY)$ と $V(3X+2Y)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の確率分布を考える。

$X$ は表が出ると2、裏が出ると0なので、$P(X=2) = 1/2$, $P(X=0) = 1/2$ である。

$Y$ は1, 1, 1, 5 のいずれかの値を取るので、$P(Y=1) = 3/4$, $P(Y=5) = 1/4$ である。

$X$ と $Y$ は独立なので、$E(XY) = E(X)E(Y)$ となる。

$E(X) = 2 \times (1/2) + 0 \times (1/2) = 1$ である。

$E(Y) = 1 \times (3/4) + 5 \times (1/4) = 3/4 + 5/4 = 8/4 = 2$ である。

したがって、$E(XY) = 1 \times 2 = 2$ である。

次に、$V(3X+2Y)$ を求める。

$V(3X+2Y) = 3^2 V(X) + 2^2 V(Y) + 2 \times 3 \times 2 \times Cov(X, Y)$ である。

$X$ と $Y$ は独立なので、$Cov(X, Y) = 0$ である。

したがって、$V(3X+2Y) = 9V(X) + 4V(Y)$ となる。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ である。

$E(X^2) = 2^2 \times (1/2) + 0^2 \times (1/2) = 4 \times (1/2) = 2$ である。

$(E(X))^2 = 1^2 = 1$ である。

したがって、$V(X) = 2 - 1 = 1$ である。

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2$ である。

$E(Y^2) = 1^2 \times (3/4) + 5^2 \times (1/4) = 1 \times (3/4) + 25 \times (1/4) = 3/4 + 25/4 = 28/4 = 7$ である。

$(E(Y))^2 = 2^2 = 4$ である。

したがって、$V(Y) = 7 - 4 = 3$ である。

$V(3X+2Y) = 9V(X) + 4V(Y) = 9 \times 1 + 4 \times 3 = 9 + 12 = 21$ である。

3. 最終的な答え

$E(XY) = 2$

$V(3X+2Y) = 21$