4つの選択肢から正答を1つだけ選ぶ形式のクイズが全部で6問ある。このクイズにすべて無作為に解答したときの正解の数を$X$とする。$X$が従う二項分布と、正解が4問以上である確率を求める。

1. 問題の内容

4つの選択肢から正答を1つだけ選ぶ形式のクイズが全部で6問ある。このクイズにすべて無作為に解答したときの正解の数を$X$とする。$X$が従う二項分布と、正解が4問以上である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、$X$が従う二項分布を決定する。クイズの問題数は6問なので、$n = 6$である。各問題で正解する確率は$1/4$なので、$p = 1/4$である。したがって、$X$は二項分布$B(6, 1/4)$に従う。

次に、正解が4問以上である確率を計算する。これは、$P(X \geq 4)$を求めることに相当する。これは、$P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$で計算できる。

二項分布の確率質量関数は以下の式で与えられる。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=6$, $p=1/4$なので、

$P(X=4) = \binom{6}{4} (1/4)^4 (3/4)^2 = 15 \times (1/256) \times (9/16) = 135/4096$

$P(X=5) = \binom{6}{5} (1/4)^5 (3/4)^1 = 6 \times (1/1024) \times (3/4) = 18/4096$

$P(X=6) = \binom{6}{6} (1/4)^6 (3/4)^0 = 1 \times (1/4096) \times 1 = 1/4096$

したがって、$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (135 + 18 + 1) / 4096 = 154/4096 = 77/2048$

3. 最終的な答え

$X$は二項分布$B(6, 1/4)$に従う。

正解が4問以上である確率は、$77/2048$である。