放物線 $G: y = ax^2 + bx$ が2点 $(1, 2)$, $(3, -6)$ を通る。 (1) $a$, $b$ の値を求め、放物線 $G$ の頂点の座標を求める。 (2) (i) $G$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とし、$C_1$ の方程式を求める。 (ii) $G$ を $x$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_2$ とし、$C_2$ の方程式を求める。 (3) 放物線 $G$, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ $A$, $B$, $C$ とし、線分 $AB$ と線分 $BC$ で作られる折れ線を $L$ とする。放物線 $H: y = x^2 - 2px + q$ の頂点が $L$ 上にあり、さらに点 $(3, 11)$ を通るような $p$, $q$ の値の組 $(p, q)$ を全て求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

放物線 $G: y = ax^2 + bx$ が2点 $(1, 2)$, $(3, -6)$ を通る。

(1) $a$, $b$ の値を求め、放物線 $G$ の頂点の座標を求める。

(2) (i) $G$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とし、$C_1$ の方程式を求める。

(ii) $G$ を $x$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_2$ とし、$C_2$ の方程式を求める。

(3) 放物線 $G$, $C_1$, $C_2$ の頂点をそれぞれ $A$, $B$, $C$ とし、線分 $AB$ と線分 $BC$ で作られる折れ線を $L$ とする。放物線 $H: y = x^2 - 2px + q$ の頂点が $L$ 上にあり、さらに点 $(3, 11)$ を通るような $p$, $q$ の値の組 $(p, q)$ を全て求める。

2. 解き方の手順

(1) $G$ が $(1, 2)$ と $(3, -6)$ を通るので、

$a+b = 2$ ...(1)

$9a + 3b = -6$ ...(2)

(2)を3で割ると $3a + b = -2$ ...(3)

(3) - (1) より $2a = -4$ よって $a = -2$

(1)に代入して $-2 + b = 2$ よって $b = 4$

したがって $y = -2x^2 + 4x = -2(x^2 - 2x) = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) = -2(x-1)^2 + 2$

よって頂点は $(1, 2)$

(2) (i) $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ が $-x$ に変わるので、

$C_1: y = -2(-x)^2 + 4(-x) = -2x^2 - 4x$

(ii) $x$ 軸に関して対称移動すると、$y$ が $-y$ に変わるので、

$C_2: -y = -2x^2 + 4x$ つまり $y = 2x^2 - 4x$

(3) $G$ の頂点 $A$ は $(1, 2)$

$C_1: y = -2x^2 - 4x = -2(x^2 + 2x) = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) = -2(x+1)^2 + 2$

$C_1$ の頂点 $B$ は $(-1, 2)$

$C_2: y = 2x^2 - 4x = 2(x^2 - 2x) = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) = 2(x-1)^2 - 2$

$C_2$ の頂点 $C$ は $(1, -2)$

$A(1, 2)$, $B(-1, 2)$, $C(1, -2)$

$AB$ は $y = 2$ ($-1 \le x \le 1$)

$BC$ は $x = 1$ ($-2 \le y \le 2$)

$H: y = x^2 - 2px + q = (x-p)^2 - p^2 + q$

$H$ の頂点は $(p, -p^2 + q)$

これがL上にあるので、

(i) $-1 \le p \le 1$ かつ $-p^2 + q = 2$ のとき

$q = p^2 + 2$

$(3, 11)$ を通るので $11 = 3^2 - 2p(3) + q$

$11 = 9 - 6p + p^2 + 2$

$p^2 - 6p = 0$

$p(p - 6) = 0$

$p = 0, 6$

$-1 \le p \le 1$ より $p = 0$, $q = 0^2 + 2 = 2$

$(p, q) = (0, 2)$

(ii) $p = 1$ かつ $-2 \le -p^2 + q \le 2$ のとき

$-p^2 + q = -1 + q$ なので、 $-2 \le -1 + q \le 2$

$11 = 3^2 - 2p(3) + q$

$11 = 9 - 6 + q$

$q = 8$

$-2 \le -1 + 8 \le 2$ は成り立たない。

よって、 $(p, q) = (0, 2)$ のみ

3. 最終的な答え

$(p, q) = (0, 2)$