$a, b$ を実数とする。$x$ の方程式 $x^3 - ax^2 + bx + 13 = 0$ が $3 + 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数とする。$x$ の方程式 $x^3 - ax^2 + bx + 13 = 0$ が $3 + 2i$ を解にもつとき、$a, b$ の値を求め、他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

係数が実数であるため、$3 + 2i$ が解ならば、その共役複素数である $3 - 2i$ も解である。

$3 + 2i$ と $3 - 2i$ を解にもつので、残りの解を $\alpha$ とすると、解と係数の関係より、

$$(3 + 2i) + (3 - 2i) + \alpha = a$$

$$(3 + 2i)(3 - 2i) + (3 + 2i)\alpha + (3 - 2i)\alpha = b$$

$$(3 + 2i)(3 - 2i)\alpha = -13$$

最初の式から、

$$6 + \alpha = a$$

最後の式から、

$$(9 - (4i^2))\alpha = -13$$

$$(9 + 4)\alpha = -13$$

$$13\alpha = -13$$

$$\alpha = -1$$

したがって、$a = 6 + \alpha = 6 - 1 = 5$。

2番目の式から、

$$(9 + 4) + \alpha(3 + 2i + 3 - 2i) = b$$

$$13 + \alpha(6) = b$$

$$13 - 6 = b$$

$$b = 7$$

よって、$a=5$, $b=7$, 他の解は $\alpha = -1$ と $3-2i$ である。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 7$

他の解は $-1$ と $3-2i$