多項式 $2x^3 + ax^2 + 3x + b$ が $x^2 - 3x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $2x^3 + ax^2 + 3x + b$ が $x^2 - 3x + 1$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$2x^3 + ax^2 + 3x + b$ を $x^2 - 3x + 1$ で割ったときの商を $cx+d$ とすると、

$2x^3 + ax^2 + 3x + b = (x^2 - 3x + 1)(cx + d)$ と表せる。

右辺を展開すると、

$(x^2 - 3x + 1)(cx + d) = cx^3 + dx^2 - 3cx^2 - 3dx + cx + d = cx^3 + (d - 3c)x^2 + (c - 3d)x + d$

左辺と右辺の係数を比較すると、

$c = 2$

$d - 3c = a$

$c - 3d = 3$

$d = b$

$c = 2$ を $c - 3d = 3$ に代入すると、

$2 - 3d = 3$

$-3d = 1$

$d = -\frac{1}{3}$

したがって、$b = -\frac{1}{3}$

$d = -\frac{1}{3}$ を $d - 3c = a$ に代入すると、

$-\frac{1}{3} - 3(2) = a$

$a = -\frac{1}{3} - 6 = -\frac{19}{3}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{19}{3}$

$b = -\frac{1}{3}$