放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ が2点A, Bで交わっており、それぞれのx座標を$\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とする。また、放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ のグラフ上に点C, Dをとる。このとき、三角形ABCの面積を$\alpha$, $\beta$, mを用いて表し、$\gamma$を動かしたときの三角形ABCの面積の最大値を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ が2点A, Bで交わっており、それぞれのx座標を$\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$)とする。また、放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ のグラフ上に点C, Dをとる。このとき、三角形ABCの面積を$\alpha$, $\beta$, mを用いて表し、$\gamma$を動かしたときの三角形ABCの面積の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、図から三角形ABCの面積は、線分CDの長さに比例することがわかる。

線分CDの長さは、$x=\gamma$における放物線 $f(x)$ と直線 $g(x)$ のy座標の差の絶対値に比例する。

$f(x) - g(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ である。

従って、点C, Dにおけるy座標の差の絶対値は $|f(\gamma) - g(\gamma)| = |(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)|$ となる。

三角形ABCの面積は、 $\frac{1}{2} |(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)| \times (CDの長さ)$ となる。

問題文より、三角形ABCの面積は$\frac{|CD|}{2}|f(\gamma)-g(\gamma)|$となる。

ここで、$f(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$と与えられているため、これを計算していく。

$f(x)=x^2-(\alpha+\beta)x + \alpha\beta$, $g(x)=mx+n$とすると、$f(x)-g(x)=0$を解いたものが$\alpha$と$\beta$であるから、

$x^2-(\alpha+\beta+m)x + \alpha\beta - n=0$の解が$\alpha$と$\beta$である。解と係数の関係より、

$\alpha+\beta+m = \alpha+\beta$、$\alpha\beta - n = \alpha\beta$となる。

従って、$m = 0$、$n = 0$となる。

これはありえない。問題文の条件を確認すると、$f(x) = x^2$, $g(x) = -mx+m$となる。

したがって、$\alpha$と$\beta$は$x^2+mx-m=0$の解である。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = -m$, $\alpha\beta = -m$となる。

$\gamma$におけるy座標は、点Cのx座標が$\gamma$であるから、$(\gamma, \gamma^2)$である。

点Dのy座標は、点Dのx座標が$\gamma$であるから、$(\gamma, -m\gamma+m)$である。

従って、CDの長さは、$\gamma^2 - (-m\gamma+m) = \gamma^2 + m\gamma - m$となる。

三角形ABCの面積は$\frac{1}{2}|\gamma^2+m\gamma-m||CD|$となる。

$CD = \beta-\alpha$であり、$(\beta - \alpha)^2 = (\beta+\alpha)^2 - 4\alpha\beta = m^2 + 4m$であるから、$\beta - \alpha = \sqrt{m^2+4m}$となる。

従って、$\frac{1}{2}|\gamma^2+m\gamma-m|\sqrt{m^2+4m}$となる。

$\gamma = \frac{\alpha+\beta}{2}$のとき、極値をとる。

従って$\gamma = -\frac{m}{2}$となる。

3. 最終的な答え

(ABCの面積) = $\frac{\sqrt{m^2+4m}}{4} (m^2+4m)$

である。$\gamma$が$\alpha < \gamma < \beta$ の範囲を動くとき、△ABCの面積は$\gamma = -\frac{m}{2}$で最小値をとる。