(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点を A, B とし、その x 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。$\triangle OAB$ の面積を $\alpha, \beta$ で表す。 (2) $f(x) = x^2 + bx + c$, $g(x) = mx + n$ とする。放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ が異なる 2 点 A, B で交わり、その x 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。また、$f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフ上に x 座標が $\gamma$ ($\alpha < \gamma < \beta$) である点 C, D をとる。$\triangle ABC$ の面積を $\alpha, \beta, \gamma$ で表す。

## 数学の問題の解答

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = x + 2$ の交点を A, B とし、その x 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。$\triangle OAB$ の面積を $\alpha, \beta$ で表す。

(2) $f(x) = x^2 + bx + c$, $g(x) = mx + n$ とする。放物線 $y = f(x)$ と直線 $y = g(x)$ が異なる 2 点 A, B で交わり、その x 座標をそれぞれ $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。また、$f(x)$ と $y = g(x)$ のグラフ上に x 座標が $\gamma$ ($\alpha < \gamma < \beta$) である点 C, D をとる。$\triangle ABC$ の面積を $\alpha, \beta, \gamma$ で表す。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$A$ と $B$ の座標を求めます。

$x^2 = x + 2$ を解くと $x^2 - x - 2 = 0$ より $(x - 2)(x + 1) = 0$ となるので、$\alpha = -1$, $\beta = 2$ です。

$\triangle OAB$ の面積は $\triangle OAC$ の面積と $\triangle OBC$ の面積の和で表せるので、

$\triangle OAB = \frac{1}{2} | x_A y_B - x_B y_A |$

$= \frac{1}{2} | (-1)(2+2) - (2)(-1+2)| = \frac{1}{2} | -4 - 2 | = \frac{1}{2} |-6| = 3$

また、直線 $AB$ の式は $y=x+2$ より

$S = \frac{1}{6} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{6} (2 - (-1))^3 = \frac{1}{6} (3)^3 = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

$3 = \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3$

より $オ = \frac{1}{6}$

(2)

放物線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標は、2 次方程式 $g(x) - f(x) = 0$ の実数解なので、$f(x)-g(x) = (x-\alpha)(x-\beta)$ と表せる。したがって、$カ = -(x-\alpha)(x-\beta)$

$\triangle ABC$ の面積は、$\triangle ACD$ の面積と $\triangle BCD$ の面積の和から計算できます。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |(\alpha-\gamma) \{f(\gamma) - g(\gamma)\} - (\beta - \gamma) \{ f(\gamma) - g(\gamma)\}|$

$= \frac{1}{2} |(\alpha - \gamma) \{(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)\} - (\beta - \gamma) \{(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta)\}|$

$= \frac{1}{2} | (\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) \{(\alpha - \gamma) - (\beta - \gamma)\}|$

$= \frac{1}{2} | (\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) (\alpha - \beta) |$

$= \frac{1}{2} | (\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)(\beta - \gamma)|$

ここで問題文より $b=2, c=-3, m=-1, n=1$ なので

$f(x) = x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$, $g(x) = -x + 1$

$x^2 + 2x - 3 = -x + 1 \implies x^2 + 3x - 4 = 0 \implies (x+4)(x-1)=0$

$\alpha = -4, \beta = 1$

△ABC の面積 $= \frac{1}{2} (\beta-\alpha) |(\gamma - \alpha)(\beta - \gamma)|= \frac{1}{2}(1-(-4)) |(\gamma-(-4))(1-\gamma)|$

$= \frac{5}{2} | (\gamma+4)(1-\gamma)| = \frac{5}{2} |-\gamma^2 - 3\gamma +4|$

$\frac{5}{2} | -\gamma^2 -3\gamma + 4|$が最小となるのは、頂点付近。よって $\gamma = -\frac{3}{2}$ 近傍。

したがって $\gamma = -\frac{3}{2} < サ = 1$のとき、△ABCの面積は最小値をとる。

3. 最終的な答え

オ: $\frac{1}{6}$

カ: $-(x-\alpha)(x-\beta)$

ク: $\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)$

ケコ: -4

サ: 1

シ: $\frac{5}{2}$

ス: -$\gamma^2$-3$\gamma$+4

セ: ッテ