4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

1. 問題の内容

4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ は正の解を何個持つか。

2. 解き方の手順

まず、与えられた4次方程式を $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$ とおきます。正の解の個数を調べるために、符号の変化を調べます。

$f(0) = 5 > 0$

$f(1) = 3 - 4 - 12 + 5 = -8 < 0$

$f(2) = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27 < 0$

$f(3) = 3(81) - 4(27) - 12(9) + 5 = 243 - 108 - 108 + 5 = 32 > 0$

中間値の定理より、$x = 0$ と $x = 1$ の間に少なくとも1つの解が存在します。

また、$x = 2$ と $x = 3$ の間に少なくとも1つの解が存在します。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 0, 2$ です。

$x > 0$ の範囲で、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ です。

$f'(x)$ の符号の変化を調べます。

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少関数です。

- $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加関数です。

$f(0) = 5 > 0$

$f(1) = -8 < 0$

$f(2) = -27 < 0$

$f(3) = 32 > 0$

$f(x)$ は、$x = 0$ から $x = 2$ まで減少し、$x = 2$ から増加するので、正の解は2つ存在します。

3. 最終的な答え

2個