1から8までの数字が書かれたくじが1枚ずつ入った箱が10個ある。それぞれの箱から1回ずつくじを引き、当たった数字の合計を確率変数$X$とするとき、$X$の期待値$E[X]$を求めよ。ただし、くじを引いたときにそれぞれの数字が出る確率は全て等しいものとする。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれたくじが1枚ずつ入った箱が10個ある。それぞれの箱から1回ずつくじを引き、当たった数字の合計を確率変数$X$とするとき、$X$の期待値$E[X]$を求めよ。ただし、くじを引いたときにそれぞれの数字が出る確率は全て等しいものとする。

2. 解き方の手順

確率変数$X$は、10個の箱から引いたくじの数字の合計なので、それぞれの箱から引いたくじの数字を表す確率変数を$X_i$（$i=1,2,...,10$）とすると、

$X = X_1 + X_2 + ... + X_{10}$

と表すことができる。

期待値の線形性より、

$E[X] = E[X_1 + X_2 + ... + X_{10}] = E[X_1] + E[X_2] + ... + E[X_{10}]$

となる。

各$X_i$は、1から8までの数字が等確率で出るので、その期待値は、

$E[X_i] = \frac{1}{8}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8(1+8)}{2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

したがって、

$E[X] = 10 \cdot E[X_1] = 10 \cdot 4.5 = 45$

3. 最終的な答え

45