あるコンビニで牛乳を販売している。1日の販売数 $X$ は確率変数であり、期待値は100、分散は7である。1杯売れた場合の利益は30円で、ビンのリサイクル料金として1日あたり1000円を支払う必要がある。1日あたりの利益額の分散を求める。

1. 問題の内容

あるコンビニで牛乳を販売している。1日の販売数 $X$ は確率変数であり、期待値は100、分散は7である。1杯売れた場合の利益は30円で、ビンのリサイクル料金として1日あたり1000円を支払う必要がある。1日あたりの利益額の分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、1日あたりの利益額 $Y$ を数式で表す。販売数 $X$ に基づく利益は $30X$ 円である。ここから固定費であるリサイクル料金1000円を引くので、

$Y = 30X - 1000$

となる。

次に、確率変数 $aX+b$ の分散の公式を使う。$X$ の分散を $V(X)$ とするとき、

$V(aX+b) = a^2 V(X)$

である。

今回の問題では、$a=30$、$b=-1000$ であり、$V(X)=7$ なので、

$V(Y) = V(30X - 1000) = 30^2 V(X) = 30^2 \times 7 = 900 \times 7 = 6300$

となる。

3. 最終的な答え

1日あたりの利益額の分散は6300。