ある家庭の玄関につけられる電球の寿命（単位：日）は正規分布 $N(180, 10^2)$ に従うものとする。正月(1月1日)に新しい電球に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えねばならない確率を求める。ただし、1つ目の電球の寿命を $X$ 、2つ目の電球の寿命を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ は独立であるとする。また、一年は365日であるとする。

1. 問題の内容

ある家庭の玄関につけられる電球の寿命（単位：日）は正規分布 $N(180, 10^2)$ に従うものとする。正月(1月1日)に新しい電球に取り替えたとき、年内に2回以上取り替えねばならない確率を求める。ただし、1つ目の電球の寿命を $X$ 、2つ目の電球の寿命を $Y$ とするとき、$X$ と $Y$ は独立であるとする。また、一年は365日であるとする。

2. 解き方の手順

年内に2回以上取り替えるということは、$X + Y < 365$ となる確率を求めることになります。

$X$ と $Y$ は独立で、それぞれ正規分布 $N(180, 10^2)$ に従うので、$X + Y$ は正規分布に従い、その平均と分散は次のようになります。

平均: $E[X + Y] = E[X] + E[Y] = 180 + 180 = 360$

分散: $V[X + Y] = V[X] + V[Y] = 10^2 + 10^2 = 200$

標準偏差: $\sqrt{V[X + Y]} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$

したがって、$X + Y$ は正規分布 $N(360, 200)$ に従います。

$Z = \frac{X+Y - 360}{10\sqrt{2}}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従います。

求める確率は $P(X + Y < 365)$ です。これを標準化すると、

$P(X + Y < 365) = P(\frac{X+Y - 360}{10\sqrt{2}} < \frac{365 - 360}{10\sqrt{2}}) = P(Z < \frac{5}{10\sqrt{2}}) = P(Z < \frac{1}{2\sqrt{2}}) = P(Z < \frac{\sqrt{2}}{4})$

$\frac{\sqrt{2}}{4} \approx \frac{1.414}{4} \approx 0.3535$

標準正規分布表より、$P(Z < 0.35) \approx 0.6368$

$P(Z < 0.3535) \approx 0.638$

3. 最終的な答え

0. 638