## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. ある工場で生産された製品100個の平均寿命が1980時間であった。母標準偏差は200時間とするとき、全製品の平均寿命 $m$ を信頼度99%で推定する問題。ア～コに当てはまる値を求める。

2. 問題1で、サンプルサイズを100から400に変更し、信頼度を95%にしたときの平均寿命 $m$ の信頼区間の下限（サ）と上限（シ）を求める問題。

3. 母標準偏差が200時間の製品の平均寿命を推定する際、信頼度95%で信頼区間の幅を20時間以下、10時間以下にするために必要なサンプルサイズ（ス、セ）と、信頼度99%で信頼区間の幅を20時間以下にするために必要なサンプルサイズ（ソ）を求める問題。

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2. 解き方の手順

### 問題1

* **ア:** 中心極限定理

* **イ:** 標本平均の標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ は $\sigma / \sqrt{n}$ で計算できる。$\sigma = 200$、 $n = 100$ なので、 $\sigma(\bar{X}) = 200 / \sqrt{100} = 20$

* **ウ:** 中心極限定理

* $Z = \frac{\bar{X} - m}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - m}{20}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。信頼度99%の場合、$P(-2.58 \le Z \le 2.58) = 0.99$ なので、

* **エ:** 2.58

* $-2.58 \le \frac{\bar{X} - m}{20} \le 2.58$ を変形すると、 $\bar{X} - 2.58 \times 20 \le m \le \bar{X} + 2.58 \times 20$

* **オ:** $\bar{X} = 1980$

* **カ:** $2.58 \times 20 = 51.6$

* $1980 - 51.6 \le m \le 1980 + 51.6$

* **キ:** $1980 - 51.6 = 1928.4$

* **ク:** $1980 + 51.6 = 2031.6$

* 求める信頼度99%の信頼区間は $1928.4 \le m \le 2031.6$

* **ケ:** $1928.4$

* **コ:** $2031.6$

### 問題2

* $n = 400$ に変更し、信頼度95%で推定する。$\sigma(\bar{X}) = 200 / \sqrt{400} = 10$

* 信頼度95%の場合、$P(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$

* $\bar{X} - 1.96 \times 10 \le m \le \bar{X} + 1.96 \times 10$

* $1980 - 1.96 \times 10 \le m \le 1980 + 1.96 \times 10$

* **サ:** $1980 - 19.6 = 1960.4$

* **シ:** $1980 + 19.6 = 1999.6$

### 問題3

* 信頼区間の幅 $W = 2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

* $n = (\frac{2 \times z \times \sigma}{W})^2$

* 信頼度95%の場合、$z = 1.96$

* $W = 20$ のとき、$n = (\frac{2 \times 1.96 \times 200}{20})^2 = (39.2)^2 = 1536.64 \approx 1537$

* **ス:** 1537

* $W = 10$ のとき、$n = (\frac{2 \times 1.96 \times 200}{10})^2 = (78.4)^2 = 6146.56 \approx 6147$

* **セ:** 6147

* 信頼度99%の場合、$z = 2.58$

* $W = 20$ のとき、$n = (\frac{2 \times 2.58 \times 200}{20})^2 = (51.6)^2 = 2662.56 \approx 2663$

* **ソ:** 2663

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3. 最終的な答え

1. ア: 中心極限定理, イ: 20, ウ: 中心極限定理, エ: 2.58, オ: 1980, カ: 51.6, キ: 1928.4, ク: 2031.6, ケ: 1928.4, コ: 2031.6

2. サ: 1960.4, シ: 1999.6

3. ス: 1537, セ: 6147, ソ: 2663