$n$次正方行列全体のなすベクトル空間において、以下の行列の集合が部分空間であるかどうかを判定し、理由を述べる。 (1) 正則行列全体 (2) 対称行列の全体 (3) 冪等行列の全体

1. 問題の内容

$n$次正方行列全体のなすベクトル空間において、以下の行列の集合が部分空間であるかどうかを判定し、理由を述べる。

(1) 正則行列全体

(2) 対称行列の全体

(3) 冪等行列の全体

2. 解き方の手順

ベクトル空間の部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

(a) ゼロベクトルを含む

(b) スカラー倍に関して閉じている

(c) 和に関して閉じている

各集合に対して、上記の条件が満たされるかどうかを調べる。

(1) 正則行列全体

* ゼロ行列は正則ではないため、(a)を満たさない。

* 正則行列$A$に対して、$0A = O$ (ゼロ行列)となり、これは正則ではないので、(b)を満たさない。

* 例えば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$と$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$はどちらも正則行列だが、$A + B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$は正則ではないため、(c)を満たさない。

(2) 対称行列の全体

* ゼロ行列は対称行列であるため、(a)を満たす。

* 対称行列$A$に対して、任意のスカラ$c$に対して、$cA$も対称行列となるため、(b)を満たす。なぜなら、$(cA)^T = cA^T = cA$だからである。

* 対称行列$A$と$B$に対して、$A+B$も対称行列となるため、(c)を満たす。なぜなら、$(A+B)^T = A^T + B^T = A + B$だからである。

(3) 冪等行列の全体

* ゼロ行列と単位行列は冪等行列であるため、ゼロ行列は冪等行列の集合に含まれる。従って、(a)を満たす。

* 冪等行列$A$に対して、$cA$が冪等行列であるためには、$(cA)^2 = cA$が成り立つ必要がある。つまり、$c^2A^2 = cA$となるが、$A^2 = A$より、$c^2A = cA$となり、$c = 0$または$c = 1$でない限りは成り立たない。したがって、(b)を満たさない。

* 例えば、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$と$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$はどちらも冪等行列だが、$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$も冪等行列である。しかし、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$と$B = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$はどちらも冪等行列だが、$A+B = \begin{pmatrix} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$は冪等行列ではないので、(c)を満たさない。

3. 最終的な答え

(1) 正則行列全体：部分空間ではない。

(2) 対称行列の全体：部分空間である。

(3) 冪等行列の全体：部分空間ではない。