次の3つの式を展開し、整理せよ。 (1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ (2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 + (c + a-b)^2+(a+b-c)^2$ (3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の3つの式を展開し、整理せよ。

(1) $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

(2) $(a+b+c)^2+(b+c-a)^2 + (c + a-b)^2+(a+b-c)^2$

(3) $(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x-1)(x-4)$と$(x-2)(x-3)$をそれぞれ計算します。

$(x-1)(x-4) = x^2 - 5x + 4$

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

ここで、$x^2 - 5x = A$とおくと、

$(A+4)(A+6) = A^2 + 10A + 24$

$A$を元に戻して、$A = x^2 - 5x$なので、

$(x^2 - 5x)^2 + 10(x^2 - 5x) + 24 = x^4 - 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 - 50x + 24 = x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(2)

各項の展開を計算します。

$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

$(b+c-a)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca$

$(c+a-b)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2bc + 2ca - 2ab$

$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ca - 2bc + 2ab$

これらの和は、

$4(a^2 + b^2 + c^2)$

(3)

$(a+2b+1)(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1)$

この式は、$(A+1)((A-3ab+3b^2)+1)$と見ると、展開が大変なので、地道に展開します。

$a(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1) + 2b(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1) + 1(a^2-2ab+4b^2-a-2b+1) = a^3 - 2a^2b + 4ab^2 - a^2 - 2ab + a + 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 - 2ab - 4b^2 + 2b + a^2 - 2ab + 4b^2 - a - 2b + 1 = a^3 + 8b^3 - 6ab + 1$

$a^3+8b^3+1 - 6ab = a^3 + (2b)^3 + 1^3 - 3 \cdot a \cdot 2b \cdot 1$なので、これは因数分解の公式$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$を逆に使った形になっています。

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 10x^3 + 35x^2 - 50x + 24$

(2) $4(a^2 + b^2 + c^2)$

(3) $a^3 + 8b^3 - 6ab + 1$