与えられた等式 $\frac{3x-1}{x^2+2x+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2}$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた等式 $\frac{3x-1}{x^2+2x+1} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2}$ を満たす定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、左辺の分母を因数分解します。

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

したがって、与えられた等式は次のようになります。

$\frac{3x-1}{(x+1)^2} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2}$

次に、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{(x+1)^2} = \frac{a(x+1)}{(x+1)^2} + \frac{b}{(x+1)^2} = \frac{a(x+1)+b}{(x+1)^2} = \frac{ax + a + b}{(x+1)^2}$

したがって、次の等式が得られます。

$\frac{3x-1}{(x+1)^2} = \frac{ax + a + b}{(x+1)^2}$

両辺の分子を比較すると、

$3x - 1 = ax + a + b$

この等式がすべての $x$ について成り立つためには、 $x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、次の連立方程式が得られます。

$a = 3$

$a + b = -1$

$a = 3$ を $a + b = -1$ に代入すると、

$3 + b = -1$

$b = -1 - 3$

$b = -4$

したがって、$a = 3$、$b = -4$ です。

3. 最終的な答え

$a=3$

$b=-4$