関数 $y = (\log_2 \frac{x}{4})^2 - 4 \log_4 x + 3$ について、$\log_2 x = t$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求め、$y$ を $t$ の式で表し、さらに $y$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log_2 \frac{x}{4})^2 - 4 \log_4 x + 3$ について、$\log_2 x = t$ とおいたとき、$t$ のとりうる値の範囲を求め、$y$ を $t$ の式で表し、さらに $y$ の最小値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \log_2 x$ より、$x > 0$ であるため、$t$ は実数全体をとりえます。

よって、アに入るのは ③ 実数全体 です。

次に、$y$ を $t$ の式で表します。

$y = (\log_2 \frac{x}{4})^2 - 4 \log_4 x + 3$

$= (\log_2 x - \log_2 4)^2 - 4 \frac{\log_2 x}{\log_2 4} + 3$

$= (t - 2)^2 - 4 \frac{t}{2} + 3$

$= t^2 - 4t + 4 - 2t + 3$

$= t^2 - 6t + 7$

よって、$y = t^2 - 6t + 7$ となります。

イに入るのは 6、ウに入るのは 7 です。

次に、$y$ の最小値を求めます。

$y = t^2 - 6t + 7 = (t - 3)^2 - 9 + 7 = (t - 3)^2 - 2$

$y$ は $t = 3$ のとき最小値 $-2$ をとります。

$t = \log_2 x = 3$ より、$x = 2^3 = 8$

よって、$x = 8$ のとき、$y$ は最小値 $-2$ をとります。

エに入るのは 8、オカに入るのは -2 です。

3. 最終的な答え

ア: ③ 実数全体

イ: 6

ウ: 7

エ: 8

オカ: -2