$R^n$ の1次独立な $r$ 個のベクトルの組 $\{a_1, ..., a_r\}$ と、$R^n$ の $s$ 個のベクトルの組 $\{b_1, ..., b_s\}$ がある。$r \times s$ 行列 $C$ が存在し、$[b_1, ..., b_s] = [a_1, ..., a_r]C$ の関係を満たしている。このとき、$\{b_1, ..., b_s\}$ が1次独立であるための必要十分条件が $rank(C) = s$ であることを示す。

1. 問題の内容

$R^n$ の1次独立な $r$ 個のベクトルの組 $\{a_1, ..., a_r\}$ と、$R^n$ の $s$ 個のベクトルの組 $\{b_1, ..., b_s\}$ がある。$r \times s$ 行列 $C$ が存在し、$[b_1, ..., b_s] = [a_1, ..., a_r]C$ の関係を満たしている。このとき、$\{b_1, ..., b_s\}$ が1次独立であるための必要十分条件が $rank(C) = s$ であることを示す。

2. 解き方の手順

$\{b_1, ..., b_s\}$ が1次独立であるとは、

$x_1b_1 + ... + x_sb_s = 0$ が成り立つとき、$x_1 = ... = x_s = 0$ となることである。

与えられた関係式 $[b_1, ..., b_s] = [a_1, ..., a_r]C$ を用いると、

$x_1b_1 + ... + x_sb_s = [b_1, ..., b_s] \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix} = [a_1, ..., a_r]C \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix}$

となる。

$\{a_1, ..., a_r\}$ が1次独立であることから、$x_1b_1 + ... + x_sb_s = 0$ は

$C \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

と同値である。

必要性: $\{b_1, ..., b_s\}$ が1次独立であると仮定する。このとき、$x_1b_1 + ... + x_sb_s = 0$ ならば $x_1 = ... = x_s = 0$ である。したがって、$C \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ ならば $x_1 = ... = x_s = 0$ でなければならない。これは、行列 $C$ の零空間が $\{0\}$ のみであることを意味し、$C$ の階数（ランク）は $s$ に等しい。つまり、$rank(C) = s$ である。

十分性: $rank(C) = s$ であると仮定する。このとき、$C \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ ならば、$\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$ である。したがって、$x_1 = ... = x_s = 0$ となる。これは、$x_1b_1 + ... + x_sb_s = 0$ ならば $x_1 = ... = x_s = 0$ であることを意味し、$b_1, ..., b_s$ は1次独立である。

3. 最終的な答え

$\{b_1, ..., b_s\}$ が1次独立であるための必要十分条件は、$rank(C) = s$ である。