数学的帰納法を用いて、等式 $1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 + \dots + n(n+3) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+5)$ が全ての自然数 $n$ について成り立つことを証明する。空欄 $\boxed{1}$ から $\boxed{9}$ を埋める。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いて、等式 $1\cdot4 + 2\cdot5 + 3\cdot6 + \dots + n(n+3) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+5)$ が全ての自然数 $n$ について成り立つことを証明する。空欄 $\boxed{1}$ から $\boxed{9}$ を埋める。

2. 解き方の手順

[1] $n=1$ のとき

左辺は $1\cdot 4 = 4$ である。

右辺は $\frac{1}{3}\cdot 1 \cdot (1+1)(1+5) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 = 4$ となる。

よって、$\boxed{1} = 1$、$\boxed{2} = 6$ となる。

[2] $n=k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 + \dots + k(k+3) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+5)$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、等式が成り立つことを示す。

$1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 + \dots + k(k+3) + (k+1)(k+1+3) = \frac{1}{3}k(k+1)(k+5) + (k+1)(k+4)$

より、$\boxed{3} = k$、$\boxed{4} = k+1$、$\boxed{5} = (k+1)(k+4)$ となる。

ここで、右辺は

$\frac{1}{3}k(k+1)(k+5) + (k+1)(k+4) = \frac{1}{3}(k+1)[k(k+5) + 3(k+4)] = \frac{1}{3}(k+1)[k^2 + 5k + 3k + 12] = \frac{1}{3}(k+1)(k^2 + 8k + 12) = \frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+6) = \frac{1}{3}(k+1)((k+1)+1)((k+1)+5)$

となる。

したがって、$\frac{1}{3}(k+1)[k(k+5) + 3(k+4)]$ より $\boxed{6}=3(k+4)$

$\frac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+6)$ より $\boxed{7}=k+2$、$\boxed{8}=5$ となる。

よって、$n=k+1$ のときも等式が成り立つ。

以上より、すべての自然数 $n$ について等式が成り立つ。したがって、$\boxed{9}=$全ての

3. 最終的な答え

1: 1

2: 6

3: k

4: k+1

5: (k+1)(k+4)

6: 3(k+4)

7: k+2

8: 5

9: 全ての