第5項が-48、第7項が-192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

1. 問題の内容

第5項が-48、第7項が-192である等比数列$\{a_n\}$の一般項を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は$a_n = a_1 r^{n-1}$で表される。ここで、$a_1$は初項、$r$は公比である。

問題より、$a_5 = -48$、$a_7 = -192$であるから、以下の式が成り立つ。

$a_5 = a_1 r^{5-1} = a_1 r^4 = -48$

$a_7 = a_1 r^{7-1} = a_1 r^6 = -192$

2つの式を割り算することで、$a_1$を消去する。

$\frac{a_1 r^6}{a_1 r^4} = \frac{-192}{-48}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$のとき、

$a_1 (2)^4 = -48$

$16 a_1 = -48$

$a_1 = -3$

$r = -2$のとき、

$a_1 (-2)^4 = -48$

$16 a_1 = -48$

$a_1 = -3$

どちらの場合も、$a_1 = -3$である。

したがって、一般項は$a_n = a_1 r^{n-1} = -3(\pm 2)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = -3(2)^{n-1}$ または $a_n = -3(-2)^{n-1}$