与えられた行列が直交行列かどうかを確認します。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列が直交行列かどうかを確認します。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

直交行列の定義は、行列 $A$ の転置行列 $A^T$ と元の行列 $A$ の積が単位行列 $I$ になることです。すなわち、$A^T A = A A^T = I$ が成立するとき、$A$ は直交行列です。

(1) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+3\cdot3 & 1\cdot2+3\cdot4 \\ 2\cdot1+4\cdot3 & 2\cdot2+4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{pmatrix}$

$A A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot2 & 1\cdot3+2\cdot4 \\ 3\cdot1+4\cdot2 & 3\cdot3+4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 11 \\ 11 & 25 \end{pmatrix}$

$A^T A \ne I$ かつ $A A^T \ne I$ なので、(1)の行列は直交行列ではありません。

(2) の場合：

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^T A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1 \\ 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 \\ 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1 \\ 1\cdot0+0\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 \\ 0\cdot0+0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^T A = I$ かつ $A A^T = I$ なので、(2)の行列は直交行列です。

3. 最終的な答え

(1) 直交行列ではない

(2) 直交行列である