3つの未知数 $x_1$, $x_2$, $x_3$ を持つ3つの方程式からなる連立一次方程式が与えられています。 3番目の方程式の右辺にはパラメータ $a$ が含まれています。 この連立一次方程式を解き、$a$ がどのような値であれば解が存在するかを求めます。 連立一次方程式は以下の通りです。 $6x_1 + 8x_2 + 6x_3 = 3$ $5x_1 + 11x_2 + 4x_3 = 2$ $4x_1 + x_2 + 5x_3 = a$

1. 問題の内容

3つの未知数 $x_1$, $x_2$, $x_3$ を持つ3つの方程式からなる連立一次方程式が与えられています。

3番目の方程式の右辺にはパラメータ $a$ が含まれています。

この連立一次方程式を解き、$a$ がどのような値であれば解が存在するかを求めます。

連立一次方程式は以下の通りです。

$6x_1 + 8x_2 + 6x_3 = 3$

$5x_1 + 11x_2 + 4x_3 = 2$

$4x_1 + x_2 + 5x_3 = a$

2. 解き方の手順

まず、行列を用いて連立一次方程式を表します。

$$

\begin{bmatrix}

6 & 8 & 6 \\

5 & 11 & 4 \\

4 & 1 & 5

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

3 \\

2 \\

a

\end{bmatrix}

$$

次に、拡大係数行列を作成し、行基本変形を用いて簡約化します。

$$

\begin{bmatrix}

6 & 8 & 6 & 3 \\

5 & 11 & 4 & 2 \\

4 & 1 & 5 & a

\end{bmatrix}

$$

1行目を1/2倍します。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 4 & 3 & 3/2 \\

5 & 11 & 4 & 2 \\

4 & 1 & 5 & a

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の5/3倍を引きます。

3行目から1行目の4/3倍を引きます。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 4 & 3 & 3/2 \\

0 & 13/3 & -1 & -1/2 \\

0 & -13/3 & 1 & a - 2

\end{bmatrix}

$$

3行目に2行目を足します。

$$

\begin{bmatrix}

3 & 4 & 3 & 3/2 \\

0 & 13/3 & -1 & -1/2 \\

0 & 0 & 0 & a - 5/2

\end{bmatrix}

$$

連立一次方程式が解を持つためには、$a - 5/2 = 0$ である必要があります。

したがって、$a = 5/2$

3. 最終的な答え

$a = 5/2$