与えられた2つの式を因数分解します。 (1) $2x^2 - 3xy + y^2$ (2) $8a^2 - 14ab + 3b^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解します。

(1) $2x^2 - 3xy + y^2$

(2) $8a^2 - 14ab + 3b^2$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 3xy + y^2$ を因数分解します。

この式は、$(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると、$acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$ となります。

係数を比較すると、$ac = 2$, $ad + bc = -3$, $bd = 1$ となります。

$b$と$d$は$1$になる必要があるため、$b = d = 1$または$b = d = -1$となります。$ad + bc = -3$である必要があるため、$b = d = -1$とします。

次に、$a = 2, c = 1$と仮定すると、$a(-1) + c(-1) = -2 -1 = -3$となり、条件を満たします。

したがって、$2x^2 - 3xy + y^2 = (2x - y)(x - y)$となります。

(2) $8a^2 - 14ab + 3b^2$ を因数分解します。

この式は、$(pa + qb)(ra + sb)$ の形に因数分解できると仮定します。展開すると、$pr a^2 + (ps + qr)ab + qsb^2$ となります。

係数を比較すると、$pr = 8$, $ps + qr = -14$, $qs = 3$ となります。

$q$と$s$は$1$と$3$、または$-1$と$-3$になる可能性があります。$ps + qr = -14$である必要があり、負の数であるため、$q$と$s$は負の数である可能性が高いです。

$q = -1, s = -3$とします。

次に、$p$と$r$は$1$と$8$、または$2$と$4$になる可能性があります。$ps + qr = -14$を満たす必要があります。

$p = 4, r = 2$と仮定すると、$4(-3) + 2(-1) = -12 - 2 = -14$となり、条件を満たします。

したがって、$8a^2 - 14ab + 3b^2 = (4a - b)(2a - 3b)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x - y)(x - y)$

(2) $(4a - b)(2a - 3b)$