赤玉2個、青玉4個、白玉2個、黒玉1個の合計9個の玉がある。 (1) これらを円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらの玉に糸を通して輪を作るとき、何通りの輪ができるか。

1. 問題の内容

赤玉2個、青玉4個、白玉2個、黒玉1個の合計9個の玉がある。

(1) これらを円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらの玉に糸を通して輪を作るとき、何通りの輪ができるか。

2. 解き方の手順

(1) 円形に並べる場合

まずは、9個の玉を直線に並べる場合の数を考える。これは多項係数で計算できる。

$$\frac{9!}{2!4!2!1!} = \frac{362880}{2 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{362880}{96} = 3780$$

円順列では、回転して同じになるものを同一視するので、上記の値を9で割る必要がある。しかし、この問題ではすべての玉が区別できるわけではないので、単純に9で割ることはできない。

そこで、円順列の総数を求めるために、固定する玉を考える。黒玉が1個しかないので、黒玉の位置を固定して、残りの8個の玉を並べる順列を考える。すると、赤玉2個、青玉4個、白玉2個を並べる順列になるので、その場合の数は

$$\frac{8!}{2!4!2!} = \frac{40320}{2 \cdot 24 \cdot 2} = \frac{40320}{96} = 420$$

(2) 輪を作る場合

輪を作る場合は、円順列に加えて、裏返すことができる。したがって、円順列の場合の数を2で割る必要がある。ただし、完全に線対称な場合は、裏返しても同じになるので、その分を考慮する必要がある。

$$\frac{420}{2} = 210$$

線対称な並びが存在するかを考える。黒玉を軸として、赤玉、青玉、白玉が左右対称に並ぶ場合を考える。

黒玉を固定した状態で左右対称な並びを作るためには、残りの8個の玉を黒玉を軸に左右に4個ずつ並べることになる。

左側に赤玉1個、青玉2個、白玉1個を並べれば、右側も自動的に決まる。

左側に赤玉1個、青玉2個、白玉1個を並べる順列の数は

$$\frac{4!}{1!2!1!} = \frac{24}{2} = 12$$

したがって、左右対称な並び方は12通り存在する。

裏返すと一致する並びが12通りあるので、それらはそのままカウントする。裏返すと異なる並びは$420-12=408$通りあり、これらは2で割る必要がある。

よって、輪の総数は

$$12 + \frac{408}{2} = 12 + 204 = 216$$

3. 最終的な答え

(1) 420通り

(2) 216通り