$f(x) = \log x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。具体的には、$f'(x)$、$f''(x)$、$f'''(x)$ を計算し、$f^{(n)}(x)$ の一般式を推定し、数学的帰納法で証明します。

1. 問題の内容

$f(x) = \log x$ の第 $n$ 次導関数を求める問題です。具体的には、$f'(x)$、$f''(x)$、$f'''(x)$ を計算し、$f^{(n)}(x)$ の一般式を推定し、数学的帰納法で証明します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \log x$ の導関数をいくつか計算します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{x^3}$

これらの結果から、$f^{(n)}(x)$ の形を推定します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = \frac{(-1)}{x^2} = \frac{(-1)(1!)}{x^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{x^3} = \frac{(-1)^2(2!)}{x^3}$

これらの結果から、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ と推定できます。

次に、この式が正しいことを数学的帰納法で示します。

(I) $n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{(-1)^{1-1}(1-1)!}{x^1} = \frac{1}{x}$ であり、これは正しいです。

(II) $n=k$ のとき、$f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k}$ が成り立つと仮定します。

このとき、$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k} \right)$

$= (-1)^{k-1}(k-1)! \frac{d}{dx} x^{-k} = (-1)^{k-1}(k-1)! (-k) x^{-k-1}$

$= (-1)^{k-1}(-k)(k-1)! x^{-k-1} = (-1)^k k! x^{-(k+1)} = \frac{(-1)^k k!}{x^{k+1}}$

これは、$n=k+1$ のときの式 $f^{(k+1)}(x) = \frac{(-1)^{(k+1)-1}((k+1)-1)!}{x^{k+1}} = \frac{(-1)^{k}k!}{x^{k+1}}$ と一致します。

したがって、数学的帰納法により、$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$ が正しいことが示されました。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: -1

エ: 2

オ: 2

カ: 3

キ: $(-1)^{n-1}(n-1)!$

ク: $n$