(a) 関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

1. 問題の内容

(a) 関数 $y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$ の凹凸を調べ、変曲点を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を2回微分する。

$y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 1$

$y' = -3x^2 + 12x - 9$

$y'' = -6x + 12$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$-6x + 12 = 0$

$-6x = -12$

$x = 2$

次に、$x=2$ の前後で $y''$ の符号が変化するかを調べる。

$x < 2$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$x > 2$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

したがって、$x=2$ は変曲点である。

変曲点の $y$ 座標を求める。

$y(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) + 1 = -8 + 24 - 18 + 1 = -1$

したがって、変曲点は $(2, -1)$ である。

3. 最終的な答え

変曲点: $(2, -1)$

凹凸:

$x < 2$ のとき、下に凸

$x > 2$ のとき、上に凸