(b) $y = xe^{-x}$ の凹凸を調べ、変曲点を求めます。 (c) $y = \sin{x}$ ($-π/2 < x < π/2$) の凹凸を調べ、変曲点を求めます。

はい、承知いたしました。問題の曲線について、凹凸を調べて変曲点を求める問題ですね。画像には3つの関数 (a), (b), (c) がありますが、ここでは (b) と (c) を解きます。

1. 問題の内容

(b) $y = xe^{-x}$ の凹凸を調べ、変曲点を求めます。

(c) $y = \sin{x}$ ($-π/2 < x < π/2$) の凹凸を調べ、変曲点を求めます。

2. 解き方の手順

(b) $y = xe^{-x}$ の場合：

* **ステップ1：** まず、第1次導関数 $y'$ を求めます。積の微分公式を使用します。

$y' = e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

* **ステップ2：** 次に、第2次導関数 $y''$ を求めます。積の微分公式を使用します。

$y'' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = -e^{-x} - e^{-x} + xe^{-x} = (x-2)e^{-x}$

* **ステップ3：** $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$(x-2)e^{-x} = 0$

$e^{-x}$ は常に正なので、$x-2 = 0$ より $x = 2$。

* **ステップ4：** $x = 2$ の前後で $y''$ の符号を調べます。$e^{-x}$ は常に正なので、$x-2$ の符号を調べれば良いです。

* $x < 2$ のとき、$y'' < 0$（上に凸）

* $x > 2$ のとき、$y'' > 0$（下に凸）

したがって、$x = 2$ で変曲点を持ちます。

* **ステップ5：** $x = 2$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = 2e^{-2}$

したがって、変曲点は $(2, 2e^{-2})$。

(c) $y = \sin{x}$ ($-\pi/2 < x < \pi/2$) の場合：

* **ステップ1：** まず、第1次導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \cos{x}$

* **ステップ2：** 次に、第2次導関数 $y''$ を求めます。

$y'' = -\sin{x}$

* **ステップ3：** $y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-\sin{x} = 0$

$\sin{x} = 0$

$-\pi/2 < x < \pi/2$ の範囲で考えると、$x = 0$。

* **ステップ4：** $x = 0$ の前後で $y''$ の符号を調べます。

* $-\pi/2 < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $0 < x < \pi/2$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

したがって、$x = 0$ で変曲点を持ちます。

* **ステップ5：** $x = 0$ のときの $y$ の値を求めます。

$y = \sin{0} = 0$

したがって、変曲点は $(0, 0)$。

3. 最終的な答え

(b) の答え：$(2, 2e^{-2})$

(c) の答え：$(0, 0)$