2次関数 $y = 3x^2 + 4x + a$ のグラフが、$x$軸と共有点を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 + 4x + a$ のグラフが、$x$軸と共有点を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ のグラフが$x$軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D \ge 0$ であることである。

この問題では、$a=3$, $b=4$, $c=a$ であるから、判別式は

$D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = 16 - 12a$

$x$軸と共有点を持つための条件は $D \ge 0$ なので、

$16 - 12a \ge 0$

これを解く。まず、両辺を4で割ると、

$4 - 3a \ge 0$

$3a \le 4$

$a \le \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$a \le \frac{4}{3}$