二重根号を外して、空欄に当てはまる値を求める問題です。具体的には、 (1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{\boxed{22-1}} + \sqrt{\boxed{22-2}}$ (2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{\boxed{23-1}} - \sqrt{\boxed{23-2}}$ という式が与えられており、$\boxed{22-1}$, $\boxed{22-2}$, $\boxed{23-1}$, $\boxed{23-2}$ に当てはまる数をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

二重根号を外して、空欄に当てはまる値を求める問題です。具体的には、

(1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{\boxed{22-1}} + \sqrt{\boxed{22-2}}$

(2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{\boxed{23-1}} - \sqrt{\boxed{23-2}}$

という式が与えられており、$\boxed{22-1}$, $\boxed{22-2}$, $\boxed{23-1}$, $\boxed{23-2}$ に当てはまる数をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{9 + 2\sqrt{20}}$

まず、二重根号の外し方の公式 $\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ を使います。

$9 + 2\sqrt{20}$ を $a+b+2\sqrt{ab}$ の形に当てはめることを考えます。

$a+b = 9$ かつ $ab = 20$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a = 5, b = 4$ とすると、$5 + 4 = 9$ かつ $5 \times 4 = 20$ となるので条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{5+4+2\sqrt{5\times 4}} = \sqrt{5} + \sqrt{4} = \sqrt{5} + 2$

よって、$\sqrt{9 + 2\sqrt{20}} = \sqrt{5} + \sqrt{4}$ なので、$\boxed{22-1}=5$, $\boxed{22-2}=4$。

(2) $\sqrt{7 - \sqrt{48}}$

まず、$\sqrt{7 - \sqrt{48}}$ を $\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ （ただし、$a > b$） の形に変形します。

$\sqrt{48} = \sqrt{4 \times 12} = 2\sqrt{12}$ なので、

$\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{12}}$

$a+b = 7$ かつ $ab = 12$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a = 4, b = 3$ とすると、$4 + 3 = 7$ かつ $4 \times 3 = 12$ となるので条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{4 + 3 - 2\sqrt{4 \times 3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$

よって、$\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ なので、$\boxed{23-1}=4$, $\boxed{23-2}=3$。

3. 最終的な答え

(1) $\boxed{22-1} = 5$, $\boxed{22-2} = 4$

(2) $\boxed{23-1} = 4$, $\boxed{23-2} = 3$