まず、W の基底を v1=110 と v2=011 とする。 W の直交補空間 W⊥ を求める。W⊥ のベクトル u=xyz は、v1 と v2 の両方と直交するため、以下の連立方程式を満たす。 $ \begin{cases}
\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{u} = x + y = 0 \\
\mathbf{v}_2 \cdot \mathbf{u} = y + z = 0
\end{cases} $
x=−y かつ z=−y なので、W⊥ のベクトルは −yy−y=y−11−1 の形になる。 したがって、v3=−11−1 は W⊥ の基底ベクトルである。 次に、K3 の標準基底 e1=100, e2=010, e3=001 の W への正射影を計算する。 pW(x)=x−v3⋅v3x⋅v3v3 を使って各正射影を計算する。
pW(e1)=100−[−11−1]⋅[−11−1][100]⋅[−11−1]−11−1=100−3−1−11−1=100+−1/31/3−1/3=2/31/3−1/3 pW(e2)=010−[−11−1]⋅[−11−1][010]⋅[−11−1]−11−1=010−31−11−1=010+1/3−1/31/3=1/32/31/3 pW(e3)=001−[−11−1]⋅[−11−1][001]⋅[−11−1]−11−1=001−3−1−11−1=001+−1/31/3−1/3=−1/31/32/3 したがって、求める表現行列は、
2/31/3−1/31/32/31/3−1/31/32/3 