2次関数 $y = x^2 + 2x - 8$ のグラフをCとする。Cとx軸の2つの交点を左からA, Bとする。線分AB上に点Pをとり、$\angle P = 90^\circ$ の直角三角形APQを作る。ただし、点QはC上にあるものとする。点Pの座標を $(t, 0)$ とするとき、直角三角形の2辺AP, PQの長さの和 $l$ を $t$ の式で表し、$l$ が最大となる時の $t$ の値と、その時の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x - 8$ のグラフをCとする。Cとx軸の2つの交点を左からA, Bとする。線分AB上に点Pをとり、$\angle P = 90^\circ$ の直角三角形APQを作る。ただし、点QはC上にあるものとする。点Pの座標を $(t, 0)$ とするとき、直角三角形の2辺AP, PQの長さの和 $l$ を $t$ の式で表し、$l$ が最大となる時の $t$ の値と、その時の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: A, Bの座標を求める。

$y = x^2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)$ より、$y=0$ となるのは $x = -4, 2$ である。

したがって、Aの座標は $(-4, 0)$, Bの座標は $(2, 0)$ である。

ステップ2: AP, PQの長さをtで表す。

点Pの座標が $(t, 0)$ なので、

$AP = |t - (-4)| = |t + 4|$

$PQ = |y| = |t^2 + 2t - 8|$

ここで、点Pは線分AB上にあるので、$-4 \leq t \leq 2$ であり、$t+4 \geq 0$, $t^2+2t-8 \leq 0$ なので

$AP = t + 4$

$PQ = -(t^2 + 2t - 8) = -t^2 - 2t + 8$

ステップ3: lをtで表す。

$l = AP + PQ = (t+4) + (-t^2 - 2t + 8) = -t^2 - t + 12$

ステップ4: lが最大となるtの値を求める。

$l = -(t^2 + t) + 12 = -((t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 12 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 12 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{49}{4}$

したがって、$l$ は $t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値をとる。

$-4 \leq -\frac{1}{2} \leq 2$ を満たす。

ステップ5: lの最大値を求める。

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、

$l = \frac{49}{4}$

3. 最終的な答え

アイ: -4

ウ: 2

エ: -1

オカ: 12

キク: -1

ケ: 2

コサ: 49

シ: 4

$l = -t^2 - t + 12$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{49}{4}$ をとる。