与えられた３つの命題について、それぞれに当てはまる必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを答える問題です。 (1) $\triangle ABC$ が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$ であるための (2) $x > 1$ であることは、$xy > 1$ であるための (3) $x,y$ が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$ であることは、$x=y=0$であるための 選択肢は以下の通りです。 ア. 必要条件である。 イ. 十分条件である。 ウ. 必要十分条件である。 エ. 必要条件でも十分条件でもない。

1. 問題の内容

与えられた３つの命題について、それぞれに当てはまる必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどれでもないかを答える問題です。

(1) $\triangle ABC$ が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$ であるための

(2) $x > 1$ であることは、$xy > 1$ であるための

(3) $x,y$ が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$ であることは、$x=y=0$であるための

選択肢は以下の通りです。

ア. 必要条件である。

イ. 十分条件である。

ウ. 必要十分条件である。

エ. 必要条件でも十分条件でもない。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$ が正三角形である $\Rightarrow$ $\angle A = 60^\circ$ は真。なぜなら、正三角形の内角はすべて $60^\circ$ だからです。

$\angle A = 60^\circ$ $\Rightarrow$ $\triangle ABC$ が正三角形 は偽。例えば、$\angle A = 60^\circ$ であっても、 $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形も考えられます。

よって、$\triangle ABC$ が正三角形であることは、$\angle A = 60^\circ$ であるための必要条件です。

(2) $x > 1$ $\Rightarrow$ $xy > 1$ は偽。例えば、$x=2$, $y=0$とすると、$x > 1$ですが、$xy = 0 < 1$ です。

$xy > 1$ $\Rightarrow$ $x > 1$ は偽。例えば、$x = 0.5$, $y = 3$とすると、$xy = 1.5 > 1$ですが、$x = 0.5 < 1$です。

よって、$x > 1$ であることは、$xy > 1$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

(3) $x,y$が有理数のとき、$x + y\sqrt{2} = 0$ $\Rightarrow$ $x=y=0$ は真。なぜなら、$x$ と $y$ が有理数であるとき、$y \neq 0$ ならば、$\sqrt{2} = -\frac{x}{y}$ となり、$\sqrt{2}$が有理数になるので矛盾するからです。したがって、$y=0$ であり、$x = 0$ となります。

$x=y=0$ $\Rightarrow$ $x + y\sqrt{2} = 0$ は真。なぜなら、$x=0$ かつ $y=0$ ならば、$x + y\sqrt{2} = 0 + 0\sqrt{2} = 0$ だからです。

よって、$x,y$ が有理数であるとき、$x + y\sqrt{2} = 0$ であることは、$x=y=0$であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

(1) ア

(2) エ

(3) ウ