$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + (b^2c+bc^2)$

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1. 問題の内容

問題8と問題9のそれぞれの式を因数分解します。

問題8

(1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

(2) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

問題9

(1) $x^4 + 4x^2 + 16$

(2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$

(3) $4x^4 + 1$

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2. 解き方の手順

**問題8(1)**

1. 与えられた式を整理し、共通因数でまとめます。この式は対称式なので、$a$ について整理すると見通しがよくなります。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2) + (b^2c+bc^2)$

2. $(b+c)$を共通因数としてくくり出すことを目指します。

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

3. 括弧の中身を因数分解します。

$(b+c)[a^2 + ab + ac + bc] = (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

4. 共通因数$(a+b)$でくくり出します。

$(b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

**問題8(2)**

1. 与えられた式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

2. $a$について整理します。

$a^2(b-c) + a(-b^2+c^2) + (b^2c - c^2b)$

3. 共通因数でくくり出します。

$a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) = a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

4. $(b-c)$を共通因数としてくくり出します。

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) = (b-c)(a^2 - ab - ac + bc)$

5. 括弧の中身を因数分解します。

$(b-c)[a(a-b) - c(a-b)] = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

**問題9(1)**

1. $x^4 + 4x^2 + 16$を平方完成の形に近づけます。

$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2 = (x^2 + 4)^2 - (2x)^2$

2. 和と差の積の形に因数分解します。

$(x^2 + 4 + 2x)(x^2 + 4 - 2x) = (x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

**問題9(2)**

1. $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$を平方完成の形に近づけます。

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = (x^4 - 2x^2y^2 + y^4) - 5x^2y^2 = (x^2 - y^2)^2 - 5x^2y^2$

これは因数分解できません。別の方法を試します。

$x^4 - 7x^2y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - 9x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2$

2. 和と差の積の形に因数分解します。

$(x^2 + y^2 + 3xy)(x^2 + y^2 - 3xy) = (x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

**問題9(3)**

1. $4x^4 + 1$を平方完成の形に近づけます。

$4x^4 + 1 = (4x^4 + 4x^2 + 1) - 4x^2 = (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

2. 和と差の積の形に因数分解します。

$(2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x) = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

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3. 最終的な答え

問題8

(1) $(a+b)(b+c)(c+a)$

(2) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

問題9

(1) $(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

(3) $(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$