不等式 $\frac{4x}{2x-1} \geq 2x$ を解く。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \geq 2x$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を整理する。$2x$を左辺に移項すると、

$\frac{4x}{2x-1} - 2x \geq 0$

左辺を通分すると、

$\frac{4x - 2x(2x-1)}{2x-1} \geq 0$

分子を整理すると、

$\frac{4x - 4x^2 + 2x}{2x-1} \geq 0$

$\frac{-4x^2 + 6x}{2x-1} \geq 0$

$\frac{2x(-2x + 3)}{2x-1} \geq 0$

両辺に負の数をかけると不等号の向きが変わるので、

$\frac{2x(2x - 3)}{2x-1} \leq 0$

次に、不等式の符号を調べるために、$x$の値の範囲をいくつかの区間に分割する。分母が0にならないように、$2x-1 \neq 0$、つまり、$x \neq \frac{1}{2}$である。

また、分子が0になるのは、$2x = 0$ または $2x-3 = 0$、つまり、$x = 0$ または $x = \frac{3}{2}$のときである。

したがって、$x$の範囲は、

$x < 0, 0 < x < \frac{1}{2}, \frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}, x > \frac{3}{2}$

の4つの区間に分割される。

それぞれの区間で不等式の符号を調べる。

* $x < 0$のとき、$2x < 0, 2x-3 < 0, 2x-1 < 0$なので、$\frac{(2x)(2x-3)}{2x-1} < 0$。したがって、$x < 0$はこの不等式を満たす。

* $0 < x < \frac{1}{2}$のとき、$2x > 0, 2x-3 < 0, 2x-1 < 0$なので、$\frac{(2x)(2x-3)}{2x-1} > 0$。したがって、$0 < x < \frac{1}{2}$はこの不等式を満たさない。

* $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$のとき、$2x > 0, 2x-3 < 0, 2x-1 > 0$なので、$\frac{(2x)(2x-3)}{2x-1} < 0$。したがって、$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$はこの不等式を満たす。

* $x > \frac{3}{2}$のとき、$2x > 0, 2x-3 > 0, 2x-1 > 0$なので、$\frac{(2x)(2x-3)}{2x-1} > 0$。したがって、$x > \frac{3}{2}$はこの不等式を満たさない。

また、$x=0$のとき、$\frac{4(0)}{2(0)-1} \geq 2(0)$、つまり、$0 \geq 0$なので、不等式を満たす。

$x=\frac{3}{2}$のとき、$\frac{4(\frac{3}{2})}{2(\frac{3}{2})-1} \geq 2(\frac{3}{2})$、つまり、$\frac{6}{2} \geq 3$、つまり、$3 \geq 3$なので、不等式を満たす。

したがって、不等式の解は、$x \leq 0$ または $\frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$である。

3. 最終的な答え

$x \leq 0, \frac{1}{2} < x \leq \frac{3}{2}$