2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線のグラフを表す関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求める。

1. 問題の内容

2つの直線 $x=2$ と $y=-1$ を漸近線とし、点 $(3, 2)$ を通る双曲線のグラフを表す関数を $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形で求める。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であることから、関数は

$y = \frac{a(x-2)+b'}{c(x-2)} - 1$ と表せる。

この式を変形すると、

$y = \frac{ax-2a+b'}{cx-2c} - 1 = \frac{ax-2a+b' - (cx-2c)}{cx-2c} = \frac{(a-c)x+(-2a+b'+2c)}{cx-2c}$

ここで、$\frac{a}{c} = -1$となるため、式をさらに変形すると、

$y = \frac{k}{x-2} - 1$ ($k$は定数)

このグラフが点 $(3, 2)$ を通るので、$x=3$, $y=2$ を代入すると、

$2 = \frac{k}{3-2} - 1$

$2 = k - 1$

$k = 3$

したがって、関数は $y = \frac{3}{x-2} - 1$ となる。

これを整理して、 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形にすると、

$y = \frac{3}{x-2} - \frac{x-2}{x-2} = \frac{3-x+2}{x-2} = \frac{-x+5}{x-2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x+5}{x-2}$