数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3n^2 - n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 2, a_{n+1} = a_n + 3n^2 - n$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は階差数列の形をしているため、次の式で一般項を求めることができます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 - k)$ (ただし、$n \geq 2$)

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ であることを利用して計算を進めます。

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k^2 - k) = 2 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k^2 - \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 2 + 3\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} - \frac{(n-1)n}{2}$

$= 2 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{2} - \frac{(n-1)n}{2}$

$= 2 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{2} - \frac{n^2 - n}{2}$

$= 2 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n - n^2 + n}{2}$

$= 2 + \frac{2n^3 - 4n^2 + 2n}{2}$

$= 2 + n^3 - 2n^2 + n$

$= n^3 - 2n^2 + n + 2$

この式が $n = 1$ でも成り立つか確認します。

$a_1 = 1^3 - 2(1^2) + 1 + 2 = 1 - 2 + 1 + 2 = 2$ となり、与えられた条件 $a_1 = 2$ と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = n^3 - 2n^2 + n + 2$