二等辺三角形 ABC において、$AB=AC$, $BC=1$, $B=2\theta$ である。三角形 ABC に内接する円に接し、$BC$ に平行な直線が辺 AB, AC と交わる点をそれぞれ $D_1, E_1$ とし、線分 $D_1E_1$ の長さを $a_1$ とする。さらに三角形 $AD_1E_1$ に内接する円に接し、辺 $D_1E_1$ に平行な直線と辺 $AD_1, AE_1$ との交点を点 $D_2, E_2$ とし、線分 $D_2E_2$ の長さを $a_2$ とする。この操作を順次繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_nE_n$ の長さ $a_n$ を求め、また、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を $\cos B$ で表す問題を解く。

1. 問題の内容

二等辺三角形 ABC において、$AB=AC$, $BC=1$, $B=2\theta$ である。三角形 ABC に内接する円に接し、$BC$ に平行な直線が辺 AB, AC と交わる点をそれぞれ $D_1, E_1$ とし、線分 $D_1E_1$ の長さを $a_1$ とする。さらに三角形 $AD_1E_1$ に内接する円に接し、辺 $D_1E_1$ に平行な直線と辺 $AD_1, AE_1$ との交点を点 $D_2, E_2$ とし、線分 $D_2E_2$ の長さを $a_2$ とする。この操作を順次繰り返すとき、$n$ 回目の操作で引くことができる線分 $D_nE_n$ の長さ $a_n$ を求め、また、無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を $\cos B$ で表す問題を解く。

2. 解き方の手順

まず、$BC$ と $D_1E_1$ は平行なので、$\triangle ABC$ と $\triangle AD_1E_1$ は相似である。また、$a_1$ は $D_1E_1$ の長さであるから、$a_1 = k \cdot BC = k$, ただし $k$ は相似比。

$A$ から $BC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とする。また、$A$ から $D_1E_1$ に下ろした垂線の長さを $h_1$ とする。

$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、$r = \frac{2S}{a+b+c}$ であり、ここで $S$ は $\triangle ABC$ の面積、 $a, b, c$ は三角形の辺の長さ。

$BC=1$, $AB=AC=x$ とすると，$B = 2\theta$ より、$\frac{1}{2} = x \cos(2\theta)$, つまり $x = \frac{1}{2\cos(2\theta)}$.

$\triangle ABC$ の面積 $S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot x \sin(2\theta) = \frac{\sin(2\theta)}{4\cos(2\theta)} = \frac{1}{4}\tan(2\theta)$.

$r = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}\tan(2\theta)}{1 + \frac{1}{\cos(2\theta)}} = \frac{\tan(2\theta)}{2(1+\frac{1}{\cos(2\theta)})} = \frac{\sin(2\theta)}{2(\cos(2\theta)+1)} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2(2\cos^2\theta)} = \frac{\sin\theta}{2\cos\theta} = \frac{1}{2} \tan\theta$.

$AD_1E_1$ の内接円は $ABC$ の内接円に接している。従って、$AD_1E_1$と $ABC$ の相似比は$r$ と $h$ で表す事ができる。

$n$回目の操作でできる線分の長さは、$a_n$で与えられる。相似比の数列を考えることで、$a_n$を求める。

$a_n = (\tan\theta)^{n-1} a_1$

$a_1 = \frac{AD_1}{AB} = \frac{h-2r}{h} = \frac{AD_1}{AB} BC = \frac{h-2r}{h}$.

$a_n = (\frac{h-2r}{h})^n$.

$\frac{r}{h} = \tan\theta$, $h = \frac{1}{2}\tan(2\theta)$

$a_n = (\frac{1}{2} \tan\theta)^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} (\tan \theta)^{n-1} \frac{1}{2}\tan \theta = \frac{\frac{1}{2} \tan\theta}{1 - \tan \theta} = \frac{\tan\theta}{2(1 - \tan\theta)}$

$\cos B = \cos(2\theta)$

$a_n = (\frac{1}{2} \tan\theta)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = (\tan \theta)^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{\tan \theta}{2(1-\frac{1}{2}\tan \theta)}$