$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2$

##

9

3. 問題の内容

式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2$

2. 式を整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2 = a^2b - ab^2 - a^2c + ac^2 + b^2c - bc^2$

3. 共通因数でくくります。

$a^2b - ab^2 - a^2c + ac^2 + b^2c - bc^2 = ab(a-b) - c(a^2 - b^2) + c^2(a-b)$

4. さらに因数分解できる部分を因数分解します。

$ab(a-b) - c(a^2 - b^2) + c^2(a-b) = ab(a-b) - c(a+b)(a-b) + c^2(a-b)$

5. $(a-b)$ を共通因数としてくくります。

$ab(a-b) - c(a+b)(a-b) + c^2(a-b) = (a-b)[ab - c(a+b) + c^2]$

$=(a-b)[ab - ac - bc + c^2]$

6. []の中をさらに因数分解します。

$(a-b)[ab - ac - bc + c^2] = (a-b)[a(b-c)-c(b-c)]$

$=(a-b)(b-c)(a-c)$

7. 符号を調整して綺麗な形にします。

$(a-b)(b-c)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

##

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

##

9

4. 問題の内容

式 $a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2)$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$a(b^2 - c^2) + b(c^2 - a^2) + c(a^2 - b^2) = ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2$

2. 式を整理します。

$ab^2 - ac^2 + bc^2 - ba^2 + ca^2 - cb^2 = ab^2 - ba^2 - ac^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2$

3. 共通因数でくくります。

$ab^2 - ba^2 - ac^2 + bc^2 + ca^2 - cb^2 = ab(b-a) - c^2(a-b) + c(a^2 - b^2)$

4. さらに因数分解できる部分を因数分解します。

$ab(b-a) - c^2(a-b) + c(a^2 - b^2) = -ab(a-b) - c^2(a-b) + c(a+b)(a-b)$

5. $(a-b)$を共通因数としてくくります。

$-ab(a-b) - c^2(a-b) + c(a+b)(a-b) = (a-b)(-ab - c^2 + ac + bc)$

6. 並び替えて、因数分解します。

$(a-b)(-ab + ac + bc - c^2) = (a-b)(a(c-b)+c(b-c)) = (a-b)(a(c-b)-c(c-b))$

$= (a-b)(c-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

##

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

##

9

5. 問題の内容

式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 式を展開します。

$a(b^2+2bc+c^2) + b(c^2+2ca+a^2) + c(a^2+2ab+b^2) - 4abc = ab^2+2abc+ac^2 + bc^2+2abc+ba^2 + ca^2+2abc+cb^2 - 4abc$

2. 式を整理します。

$ab^2+2abc+ac^2 + bc^2+2abc+ba^2 + ca^2+2abc+cb^2 - 4abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

$= a(b^2+c^2) + b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + 2abc$

3. さらに整理します。

$a(b^2+c^2) + b(a^2+c^2) + c(a^2+b^2) + 2abc = a(b^2+2bc+c^2) + ba^2 + bc^2 + ca^2 + cb^2 - 2abc$

$=a(b+c)^2 + b(c^2 + 2ac +a^2)-2abc-2bac+ ca^2+cb^2$

= $(a+b)(b+c)(c+a)$

**別解**

1. 与式を展開し整理する．

$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc= a(b^2+2bc+c^2) + b(c^2+2ac+a^2) + c(a^2+2ab+b^2) - 4abc = ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + a^2b + a^2c + 2abc + b^2c - 4abc = ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + 2abc$

2. $a$について整理する．

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + bc(b+c) = (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

3. $[\quad]$内を因数分解する．

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

4. 並び替える

$(a+b)(b+c)(c+a)$

##

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

##

9

6. 問題の内容

式 $x(x+1)(x+2)(x+3) - 24$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 式を整理します。

$x(x+1)(x+2)(x+3) - 24 = x(x+3)(x+1)(x+2) - 24 = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) - 24$

2. $A = x^2 + 3x$ と置きます。

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) - 24 = A(A+2) - 24 = A^2 + 2A - 24$

3. 因数分解します。

$A^2 + 2A - 24 = (A+6)(A-4)$

4. $A$ を元に戻します。

$(A+6)(A-4) = (x^2 + 3x + 6)(x^2 + 3x - 4)$

5. さらに因数分解できる部分を因数分解します。

$(x^2 + 3x + 6)(x^2 + 3x - 4) = (x^2 + 3x + 6)(x+4)(x-1)$

##

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+4)(x^2+3x+6)$

##

9

7. 問題の内容

式 $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 式を整理します。

$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) + 15 = (x+1)(x+7)(x+3)(x+5) + 15 = (x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15$

2. $A = x^2 + 8x$ と置きます。

$(x^2 + 8x + 7)(x^2 + 8x + 15) + 15 = (A+7)(A+15) + 15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

3. 因数分解します。

$A^2 + 22A + 120 = (A+12)(A+10)$

4. $A$ を元に戻します。

$(A+12)(A+10) = (x^2 + 8x + 12)(x^2 + 8x + 10)$

5. さらに因数分解できる部分を因数分解します。

$(x^2 + 8x + 12)(x^2 + 8x + 10) = (x+2)(x+6)(x^2 + 8x + 10)$

##

3. 最終的な答え

$(x+2)(x+6)(x^2+8x+10)$

##

9

8. 問題の内容

式 $x^2 + 3(a+b)x + 2a^2 + 4ab + 2b^2$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 与式を整理します。

$x^2 + 3(a+b)x + 2a^2 + 4ab + 2b^2 = x^2 + 3(a+b)x + 2(a^2 + 2ab + b^2) = x^2 + 3(a+b)x + 2(a+b)^2$

2. 因数分解します。

$x^2 + 3(a+b)x + 2(a+b)^2 = (x + (a+b))(x + 2(a+b))$

3. 展開します。

$(x + (a+b))(x + 2(a+b)) = (x+a+b)(x+2a+2b)$

##

3. 最終的な答え

$(x+a+b)(x+2a+2b)$

##

9

9. 問題の内容

式 $(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 与式を整理します。

$(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2 = (x-1)(x+4)(x-2)(x+2) + 2x^2 = (x^2+3x-4)(x^2-4) + 2x^2$

2. 展開します。

$(x^2+3x-4)(x^2-4) + 2x^2 = x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 4x^2 - 12x + 16 + 2x^2 = x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 12x + 16$

3. $x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 12x + 16 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4 + (a+c)x^3 + (b+ac+d)x^2+(ad+bc)x + bd $

$a+c=3, b+ac+d = -6, ad+bc=-12, bd=16$

$b=4, d=4, a+c=3, 4a+4c=-12 => a+c = -3$

条件と一致しないので、$b=-4, d=-4$とする

$a+c=3, -4a-4c = -12 => a+c = 3$

$-4+ac-4 = -6 => ac=2$

$a+c = 3, ac=2 => a=1, c=2 or a=2, c=1$

$(x^2 +x -4)(x^2+2x-4)$

##

3. 最終的な答え

(x^2 +x -4)(x^2+2x-4)

##

1

0

0. 問題の内容

式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ を因数分解しなさい。

##

2. 解き方の手順

1. 公式を使います。

$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

##

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$